Question

Доказать 2x²+2y²≥(x+y)²

Answer 1

Давайте попробуем доказать неравенство 2x² + 2y² ≥ (x + y)². Для начала, давайте раскроем квадрат в правой части неравенства:

(x + y)² = x² + 2xy + y²

Теперь у нас есть неравенство 2x² + 2y² ≥ x² + 2xy + y². Давайте продолжим и приведем подобные слагаемые в левой части:

2x² + 2y² ≥ x² + 2xy + y²

Упрощая это неравенство, мы получаем:

x² + 2xy + y² ≥ 0

Теперь давайте рассмотрим эту квадратичную формулу x² + 2xy + y² и посмотрим, когда она будет больше или равна нулю.

Мы можем представить эту квадратичную формулу как сумму квадратов двух членов: (x + y)². Известно, что сумма квадратов всегда больше или равна нулю. То есть, (x + y)² ≥ 0.

Таким образом, мы доказали, что 2x² + 2y² ≥ (x + y)². Это неравенство выполняется для любых значений x и y.

Доказательство:

Мы начали с неравенства 2x² + 2y² ≥ (x + y)² и раскрыли квадрат в правой части. Затем упростили неравенство и получили x² + 2xy + y² ≥ 0. Далее мы заметили, что это неравенство является суммой квадратов и, таким образом, всегда больше или равно нулю. Следовательно, мы заключили, что 2x² + 2y² ≥ (x + y)² выполняется для любых значений x и y.