Question

СРОЧНО!!! Изветсно, что tg²A+ctg²A+1/sin²A+1/cos²А=7 Вычислить sin²A*cos²A

Answer 1

Для решения данного уравнения и вычисления значения \( \sin^2 A \cdot \cos^2 A \), начнем с уравнения:

\[ \tg^2 A + \ctg^2 A + \frac{1}{\sin^2 A} + \frac{1}{\cos^2 A} = 7 \]

Прежде чем продолжить, вспомним некоторые тригонометрические тождества:

\[ \tg^2 A = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \] \[ \ctg^2 A = \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} \] \[ \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A \] \[ \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A \]

Теперь подставим эти тождества в исходное уравнение:

\[ \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} + \csc^2 A + \sec^2 A = 7 \]

Умножим обе стороны уравнения на \(\sin^2 A \cdot \cos^2 A\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ \sin^4 A + \cos^4 A + \sin^2 A + \cos^2 A = 7 \cdot \sin^2 A \cdot \cos^2 A \]

Теперь заметим, что \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\):

\[ \sin^4 A + \cos^4 A + 1 = 7 \cdot \sin^2 A \cdot \cos^2 A \]

Теперь, если обозначить \( x = \sin^2 A \), то у нас получится квадратное уравнение:

\[ x^2 + (1 - 7x) + 1 = 0 \]

Решим это уравнение. Сначала упростим:

\[ x^2 - 7x + 2 = 0 \]

Теперь воспользуемся формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = 2 \).

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 - 8 = 41 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2} \]

Таким образом, у уравнения два корня:

\[ \sin^2 A = \frac{7 + \sqrt{41}}{2} \]

и

\[ \sin^2 A = \frac{7 - \sqrt{41}}{2} \]

Теперь, чтобы найти \( \sin^2 A \cdot \cos^2 A \), нужно умножить эти значения:

\[ \sin^2 A \cdot \cos^2 A = \left(\frac{7 + \sqrt{41}}{2}\right) \cdot \left(\frac{7 - \sqrt{41}}{2}\right) \]

\[ \sin^2 A \cdot \cos^2 A = \frac{49 - 41}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

Таким образом, \( \sin^2 A \cdot \cos^2 A = 2 \).