Question

Составьте дифференциальное уравнение и найдите частные решения: Концентрация лекарственного препарата в крови уменьшается вследствие выведенного вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,4 мг/л, а через 20 часов уменьшилась вдвое.

Answer 1

Задача

Нам дано, что концентрация лекарственного препарата в крови уменьшается в результате вывода вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент. Нам нужно определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени концентрация была равна 0,4 мг/л, а через 20 часов уменьшилась вдвое.

Решение

Для решения этой задачи мы можем использовать дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентрации с течением времени.

Пусть C(t) обозначает концентрацию вещества в крови в мг/л в момент времени t.

Мы знаем, что скорость изменения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент:

dC/dt = -k * C,

где k - коэффициент пропорциональности.

Это дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить для нахождения зависимости концентрации от времени.

Решение дифференциального уравнения

Для решения этого дифференциального уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных.

Разделим переменные и проинтегрируем обе стороны уравнения:

(1/C) * dC = -k * dt.

Интегрируя обе стороны, получим:

∫(1/C) * dC = ∫-k * dt.

Левую сторону можно проинтегрировать с использованием натурального логарифма, а правую сторону можно проинтегрировать просто как -kt:

ln|C| = -kt + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Применяем экспоненту к обеим сторонам уравнения:

|C| = e^(-kt + C1).

Теперь мы можем убрать модуль и записать общее решение уравнения:

C = ±e^(C1) * e^(-kt).

Нахождение постоянной интегрирования

Нам дано, что в начальный момент времени концентрация была равна 0,4 мг/л. Это означает, что при t = 0, C = 0,4.

Подставим эти значения в общее решение и решим для C1:

0,4 = ±e^(C1) * e^(0).

Так как e^0 = 1, мы можем упростить это уравнение:

0,4 = ±e^(C1).

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. Если C1 > 0, то C = e^(C1) * e^(-kt). 2. Если C1 < 0, то C = -e^(C1) * e^(-kt).

Нахождение конкретного решения

Нам также дано, что через 20 часов концентрация уменьшилась вдвое.

Это означает, что при t = 20, C = 0,4 / 2 = 0,2.

Подставим это значение в наши два случая и решим для конкретных решений:

1. Если C1 > 0: 0,2 = e^(C1) * e^(-k * 20).

2. Если C1 < 0: 0,2 = -e^(C1) * e^(-k * 20).

Для нахождения конкретных значений C1 и k, нам потребуется дополнительная информация или условия задачи.

Если у вас есть дополнительные условия или информация, пожалуйста, укажите их, чтобы мы могли продолжить решение задачи.