Question

Sinx cosx+2sin2x=cos2x

Answer 1

Для решения данного уравнения, воспользуемся формулами тригонометрии.

Имеем:

sin(x) + cos(x) + 2sin(2x) = cos(2x)

Распишем sin(2x) и cos(2x) через sin(x) и cos(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Подставим эти значения в уравнение:

sin(x) + cos(x) + 2(2sin(x)cos(x)) = cos^2(x) - sin^2(x)

Раскроем скобки:

sin(x) + cos(x) + 4sin(x)cos(x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

sin(x) + cos(x) + 4sin(x)cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) = 0

Приведем подобные слагаемые:

sin(x) + cos(x) + 4sin(x)cos(x) + sin^2(x) - cos^2(x) = 0

Раскроем квадраты:

sin(x) + cos(x) + 4sin(x)cos(x) + sin^2(x) - (1 - sin^2(x)) = 0

Упростим:

sin(x) + cos(x) + 4sin(x)cos(x) + sin^2(x) - 1 + sin^2(x) = 0

Сгруппируем слагаемые:

2sin^2(x) + 4sin(x)cos(x) + sin(x) + cos(x) - 1 = 0

Поместим все слагаемые в одну группу:

2sin^2(x) + sin(x) + 4sin(x)cos(x) + cos(x) - 1 = 0

Раскроем скобки:

2sin^2(x) + sin(x) + 4sin(x)cos(x) + cos(x) - 1 = 0

Вынесем общий множитель:

sin(x)(2sin(x) + 1) + cos(x)(4sin(x) + 1) - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно sin(x) и cos(x). Для его решения необходимо рассмотреть два случая:

1) 2sin(x) + 1 = 0 2) 4sin(x) + 1 = 0

Решая эти уравнения, найдем значения sin(x) и cos(x), которые можно подставить в исходное уравнение для проверки.