Question

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая ОМ так, что MA=MC, MB=MD. докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Answer 1

Дано, что точка M такая, что MA = MC и MB = MD. Для доказательства того, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма.

Пусть P и Q - середины сторон AB и CD соответственно. Так как MA = MC, то точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, проходящему через точку P. Аналогично, так как MB = MD, то точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BD, проходящему через точку Q.

Таким образом, прямая PQ является серединным перпендикуляром к отрезкам AC и BD. Но так как AC и BD - диагонали параллелограмма ABCD, то прямая PQ является серединным перпендикуляром к диагоналям. Из свойств параллелограмма следует, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке O.

Таким образом, точка O является точкой пересечения диагоналей параллелограмма и лежит на прямой PQ. Но прямая PQ - это серединный перпендикуляр к диагоналям AC и BD, а значит, она перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Таким образом, мы доказали, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.