Question

Решите систему уравнений: x + y + z = 3 x^2 + y^2 + z^2 = 3 P.S. В общем то понятно, что все неизвестные равны единице, но это просто догадка, а как это должно решаться?

Answer 1

Давайте решим систему уравнений шаг за шагом.

У вас дана система уравнений: \[ \begin{cases} x + y + z = 3 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 3 \end{cases} \]

Перепишем первое уравнение в виде \(x + y + z - 3 = 0\), чтобы использовать метод множителей Лагранжа для нахождения условий стационарности функции, аналогичной уравнению \(f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\).

Введем множитель Лагранжа \(\lambda\) и рассмотрим функцию: \[ F(x, y, z, \lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + \lambda(x + y + z - 3) \]

Теперь найдем частные производные этой функции по \(x\), \(y\), \(z\) и \(\lambda\) и приравняем их к нулю: \[ \begin{cases} \frac{\partial F}{\partial x} = 2x + \lambda = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial y} = 2y + \lambda = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial z} = 2z + \lambda = 0 \\ \frac{\partial F}{\partial \lambda} = x + y + z - 3 = 0 \end{cases} \]

Из первых трех уравнений получаем, что \(\lambda = -2x = -2y = -2z\). Подставим это обратно в уравнение \(x + y + z - 3 = 0\), чтобы найти значения \(x\), \(y\) и \(z\): \[ -2x - 2y - 2z = 0 \] \[ x + y + z = 3 \]

Решив эту систему уравнений, получим \(x = y = z = 1\).

Таким образом, действительно, все неизвестные равны единице.