Question

Радиус окружности вписанной в треугольник равен 4.Периметр этого треугольника 8.Найдите площадь треугольника?

Answer 1

Давайте обозначим стороны треугольника через \(a\), \(b\) и \(c\), а радиус вписанной окружности - через \(r\). Существует формула связи радиуса вписанной окружности с площадью треугольника и полупериметром.

Формула для площади треугольника (\(S\)) через стороны (\(a\), \(b\), \(c\)) и полупериметр (\(p\)) выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где \(p = \frac{a + b + c}{2}\).

Также, есть формула для радиуса вписанной окружности (\(r\)) через площадь (\(S\)) и полупериметр (\(p\)):

\[r = \frac{S}{p}\]

Дано, что радиус вписанной окружности равен 4, т.е., \(r = 4\).

Периметр треугольника \(P\) равен сумме всех его сторон:

\[P = a + b + c\]

В данном случае, \(P = 8\).

Мы можем использовать информацию о радиусе вписанной окружности, чтобы выразить площадь (\(S\)) через полупериметр (\(p\)):

\[r = \frac{S}{p} \implies S = r \cdot p\]

Теперь мы знаем, что \(r = 4\), и можем найти \(p\) из периметра \(P\):

\[p = \frac{P}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Теперь можем вычислить площадь (\(S\)):

\[S = r \cdot p = 4 \cdot 4 = 16\]

Таким образом, площадь треугольника равна 16.