Question

Сторона квадрата увеличивается со скоростью V. Какова скорость изменения периметра и площади квадрата в тот момент, когда его сторона равна a.

Answer 1

Давайте обозначим сторону квадрата через \( s \), периметр через \( P \), и площадь через \( A \). Известно, что сторона увеличивается со скоростью \( V \), т.е., \(\frac{ds}{dt} = V\), где \( t \) - время.

1. Периметр квадрата \( P \): Периметр квадрата равен \( P = 4s \). Возьмем производную по времени от обеих сторон: \[ \frac{dP}{dt} = 4 \frac{ds}{dt} \] Поскольку \(\frac{ds}{dt} = V\), получаем, что \(\frac{dP}{dt} = 4V\).

Таким образом, скорость изменения периметра квадрата в данный момент времени равна \(4V\).

2. Площадь квадрата \( A \): Площадь квадрата равна \( A = s^2 \). Возьмем производную по времени от обеих сторон: \[ \frac{dA}{dt} = 2s \frac{ds}{dt} \] Подставляем \(\frac{ds}{dt} = V\), получаем \(\frac{dA}{dt} = 2sV\).

Таким образом, скорость изменения площади квадрата в данный момент времени равна \(2sV\).

Таким образом, в тот момент времени, когда сторона квадрата равна \(a\): - Скорость изменения периметра квадрата \( \frac{dP}{dt} \) будет равна \(4V\). - Скорость изменения площади квадрата \( \frac{dA}{dt} \) будет равна \(2aV\).