Question

Помогите пожалуйста решить неравенства log2(x-1)<1 (x-3)(x-1)>0

Answer 1

Давайте разберемся с этим неравенством поэтапно.

Начнем с первого неравенства: log2(x-1) < 1.

Для начала, заметим, что основание логарифма равно 2. Это значит, что мы ищем такие значения x, для которых 2 возводится в какую-то степень и дает результат меньше 1.

Чтобы решить это неравенство, нужно применить обратную операцию к логарифмированию, а именно, возведение в степень. В данном случае, мы возводим оба выражения в неравенстве в степень 2.

2^(log2(x-1)) < 2^1

Так как 2^1 равно 2, упрощаем:

x-1 < 2

Теперь добавляем 1 к обеим сторонам неравенства:

x < 3

Таким образом, первое неравенство решено и имеет вид x < 3.

Теперь перейдем ко второму неравенству: (x-3)(x-1) > 0.

Мы имеем произведение двух множителей, и это произведение должно быть больше нуля. Это означает, что оба множителя должны иметь одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

Мы можем использовать таблицу знаков для определения знаков множителей в зависимости от значения x:

x | x-3 | x-1 | ---------|---------|---------| x < 1 | - | - | 1 < x < 3 | - | + | x > 3 | + | + |

Таким образом, решение второго неравенства состоит из двух интервалов: x < 1 и x > 3.

Теперь объединим решения обоих неравенств:

x < 3 и (x < 1 или x > 3)

Используя обозначение интервалов, это можно записать следующим образом:

x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, +∞)

Таким образом, решение исходного неравенства log2(x-1) < 1 + (x-3)(x-1) > 0 состоит из всех значений x, которые принадлежат интервалам (-∞, 1) и (3, +∞).