Question

Доказать косвенным методом 1) шесть рыбаков поймали вместе 14 рыб. докажите, что хотя бы два рыбака поймали рыб поровну 2) докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, имеющих вид 4k+1, где k принадлежит N

Answer 1

1) Для доказательства этого факта воспользуемся методом от противного. Предположим, что ни один рыбак не поймал рыб поровну. Тогда каждый рыбак поймал разное количество рыб. Пусть первый рыбак поймал x1 рыб, второй - x2 рыб, третий - x3 рыб и так далее до шестого рыбака, который поймал x6 рыб.

Так как каждый рыбак поймал разное количество рыб, то сумма этих количеств будет равна: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 14.

Также известно, что сумма всех чисел от 1 до 6 равна: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Поскольку сумма количеств рыб и сумма чисел от 1 до 6 различны, то это противоречит условию задачи. Таким образом, предположение о том, что ни один рыбак не поймал рыб поровну, неверно. Значит, хотя бы два рыбака поймали рыб поровну.

2) Для доказательства этого факта воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: Пусть k = 0. Тогда 4k + 1 = 4 * 0 + 1 = 1. Число 1 имеет вид 4k + 1.

Предположение индукции: Пусть для некоторого натурального числа n число 4n + 1 имеет вид 4k + 1.

Шаг индукции: Докажем, что число 4(n + 1) + 1 также имеет вид 4k + 1. Распишем это выражение: 4(n + 1) + 1 = 4n + 4 + 1 = (4n + 1) + 4.

По предположению индукции, 4n + 1 имеет вид 4k + 1. Тогда (4n + 1) + 4 = 4k + 1 + 4 = 4(k + 1) + 1. Таким образом, число 4(n + 1) + 1 также имеет вид 4k + 1.

Итак, по принципу математической индукции мы доказали, что существует бесконечно много натуральных чисел, имеющих вид 4k + 1, где k принадлежит N.