Question

Правило перевода дробных чисел из 10-ной системы исчисления в систему исчисления с произвольной основой

Answer 1

Перевод дробных чисел из десятичной системы исчисления в систему с произвольной основой осуществляется аналогично переводу целых чисел, с некоторыми особенностями для обработки дробной части. Давайте рассмотрим процесс подробнее.

Пусть у нас есть десятичное дробное число \(N = a_na_{n-1}\ldots a_2a_1a_0\cdot a_{-1}a_{-2}\ldots a_{-m}\), где \(a_i\) - цифры в десятичной системе исчисления, и \(n\) и \(m\) - количество цифр в целой и дробной части соответственно.

Для перевода этого числа в систему с произвольной основой \(b\), мы можем использовать следующий алгоритм:

1. Перевод целой части: - Разделим целую часть \(N\) на основу \(b\). - Запишем остаток от деления в качестве младшей цифры в результирующем числе. - Продолжим деление частного на основу \(b\) до тех пор, пока частное не станет равным нулю. - Цифры, которые мы получаем в результате этих делений, будут представлять целую часть числа в новой системе.

2. Перевод дробной части: - Умножим дробную часть \(N\) на основу \(b\). - Запишем целую часть результата умножения в качестве старшей цифры в результирующем числе. - Повторим этот процесс для дробной части до тех пор, пока не достигнем нужной точности или пока дробная часть не станет равной нулю. - Цифры, которые мы получаем в результате этих умножений, будут представлять дробную часть числа в новой системе.

3. Составление результата: - Объединим цифры из шагов 1 и 2, разделив их точкой (если есть дробная часть).

Давайте рассмотрим пример для большей ясности:

Пусть у нас есть десятичное число \(N = 27.625\) и мы хотим перевести его в двоичную систему (\(b = 2\)).

1. Перевод целой части: - \(27 \div 2 = 13\) с остатком 1 - \(13 \div 2 = 6\) с остатком 1 - \(6 \div 2 = 3\) с остатком 0 - \(3 \div 2 = 1\) с остатком 1 - \(1 \div 2 = 0\) с остатком 1 - Целая часть в двоичной системе: \(11011\)

2. Перевод дробной части: - \(0.625 \times 2 = 1.25\) (1 - старшая цифра) - \(0.25 \times 2 = 0.5\) (0 - следующая цифра) - \(0.5 \times 2 = 1.0\) (1 - следующая цифра) - Дробная часть в двоичной системе: \(0.101\)

3. Результат: - Объединяем целую и дробную части: \(11011.101\)

Таким образом, число 27.625 в десятичной системе равно числу \(11011.101\) в двоичной системе.