Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-6x+12; x=0; x=3; y=0.

Answer 1

Для того, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-6x+12; x=0; x=3; y=0, нужно сначала найти точки пересечения этих линий. Для этого решим систему уравнений:

y=x^2-6x+12 y=0

Подставив второе уравнение в первое, получим:

x^2-6x+12=0

Решая квадратное уравнение, находим корни:

x_1=2-\sqrt{4-3} x_2=2+\sqrt{4-3}

Так как x_1<0, а x_2>3, то эти точки не принадлежат отрезку [0,3], на котором задана фигура. Значит, точками пересечения линий y=x^2-6x+12 и y=0 являются точки A(0,12) и B(3,3).

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, нужно найти интеграл функции y=x^2-6x+12 на отрезке [0,3]. Для этого воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

S=\int_{0}^{3} (x^2-6x+12) dx = \left[\frac{x^3}{3}-3x^2+12x\right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3}-3\cdot 3^2+12\cdot 3 - \left(\frac{0^3}{3}-3\cdot 0^2+12\cdot 0\right) = 9-27+36-0 = 18

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-6x+12; x=0; x=3; y=0, равна 18 квадратных единиц.