Question

треугольник авс на сторонах ав и вс отмечены точки м и к соответственно так, что ВМ:АВ=1:2, а ВК:ВС=2:3. Во сколько раз площадь первого треугольника больше площади второго

Answer 1

Давай разберемся с этой задачей. У нас есть треугольник ABC, где точки M и K на сторонах AB и BC соответственно, так что отношения длин отрезков BM к AB и BK к BC равны 1:2 и 2:3 соответственно.

Давай обозначим длины сторон треугольника ABC:

Пусть \(AB = a\), \(BC = b\), \(AC = c\).

Теперь, учитывая, что BM:AB = 1:2, можно сказать, что \(BM = \frac{1}{3}AB\) и \(AM = \frac{2}{3}AB\).

Аналогично, если BK:BC = 2:3, то \(BK = \frac{2}{5}BC\) и \(KC = \frac{3}{5}BC\).

Мы можем записать \(AB\) через \(a\) и \(BC\) через \(b\), используя коэффициенты, соответствующие отношениям:

\(AB = a\), \(BM = \frac{1}{3}a\), \(AM = \frac{2}{3}a\),

\(BC = b\), \(BK = \frac{2}{5}b\), \(KC = \frac{3}{5}b\).

Теперь можем найти площади треугольников.

Площадь треугольника можно выразить через формулу Герона:

\(S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\),

где \(s\) - полупериметр треугольника \(s = \frac{a + b + c}{2}\).

Для треугольника ABC полупериметр \(s_1 = \frac{a + b + c}{2}\), а для треугольника AMK полупериметр \(s_2 = \frac{AM + BM + BK}{2}\).

Площадь треугольника ABC:

\(s_1 = \frac{a + b + c}{2}\),

Площадь треугольника AMK:

\(s_2 = \frac{AM + BM + BK}{2} = \frac{\frac{2}{3}a + \frac{1}{3}a + \frac{2}{5}b}{2}\).

Теперь, найдем площади обоих треугольников и отношение их площадей.

Площадь треугольника ABC можно выразить через формулу Герона, аналогично для треугольника AMK, и затем найдем отношение их площадей:

\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{\sqrt{s_1(s_1 - a)(s_1 - b)(s_1 - c)}}{\sqrt{s_2(s_2 - AM)(s_2 - BM)(s_2 - BK)}}\).

Это позволит нам найти, во сколько раз площадь первого треугольника больше площади второго.