Question

Какой цифрой оканчивается разность 1*2*3*4.......*26*27- 1*3*5*7.....25*27

Answer 1

Давайте рассмотрим данное выражение шаг за шагом. У нас есть разность двух произведений:

\[1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 26 \times 27 - (1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 25 \times 27)\]

Обратите внимание, что оба множителя содержат каждое второе число, начиная с 1 и заканчивая 27. Первое произведение содержит все четные числа от 2 до 26, а второе произведение содержит все нечетные числа от 1 до 27.

Теперь мы можем сгруппировать множители следующим образом:

\[2 \times 4 \times 6 \times \ldots \times 26 \times 27 - (1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 25)\]

Обратите внимание, что в первом произведении все множители четные, поэтому мы можем выделить 2 в каждом множителе:

\[2 \times (2 \times 3 \times \ldots \times 13 \times 27) - (1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 25)\]

Теперь в каждом множителе есть общий множитель 3:

\[2 \times 3 \times (2 \times 4 \times \ldots \times 13 \times 27) - (1 \times 3 \times 5 \times \ldots \times 25)\]

Заметим, что второе произведение содержит все нечетные числа, поэтому мы можем выделить 3:

\[3 \times (2 \times 4 \times \ldots \times 13 \times 27) - (1 \times 5 \times \ldots \times 25)\]

Теперь мы видим, что оба произведения содержат последовательность четных чисел от 2 до 27, за исключением 4, 8, 12, 16 и так далее, и последовательность нечетных чисел от 1 до 25, за исключением 5, 9, 13, 17 и так далее.

Мы можем выделить 4 в каждом множителе в первом произведении и 5 в каждом множителе во втором произведении:

\[3 \times 4 \times (2 \times 6 \times 10 \times \ldots \times 26) - 5 \times (1 \times 3 \times 7 \times \ldots \times 25)\]

Теперь оба произведения содержат последовательность четных чисел от 2 до 26, за исключением 6, 10, 14 и так далее, и последовательность нечетных чисел от 1 до 25, за исключением 3, 7, 11 и так далее.

Мы можем выделить 6 в каждом множителе в первом произведении и 7 в каждом множителе во втором произведении:

\[3 \times 4 \times 6 \times (2 \times 10 \times 14 \times \ldots \times 26) - 5 \times 7 \times (1 \times 3 \times 11 \times \ldots \times 25)\]

Продолжая этот процесс, мы увидим, что все оставшиеся множители будут выделяться, и останется только 27 в первом произведении:

\[3 \times 4 \times 6 \times 8 \times \ldots \times 26 \times 27 - 5 \times 7 \times 9 \times \ldots \times 25 \times 27\]

Теперь оба произведения содержат последовательность четных чисел от 2 до 26 и последовательность нечетных чисел от 1 до 25, за исключением 3, 5, 7, 9 и так далее.

Мы можем выделить 2 и 3 в каждом множителе второго произведения:

\[3 \times 4 \times 6 \times 8 \times \ldots \times 26 \times 27 - 5 \times 7 \times 9 \times \ldots \times 25 \times 27\] \[= 3 \times 4 \times 6 \times 8 \times \ldots \times 26 \times 27 - 3 \times 5 \times 7 \times \ldots \times 25 \times 27 \times 3\]

Теперь оба произведения содержат последовательность четных чисел от 2 до 26 и последовательность нечетных чисел от 1 до 25.

Мы можем выделить 2 в каждом множителе:

\[3 \times 4 \times 6 \times 8 \times \ldots \times 26 \times 27 - 3 \times 5 \times 7 \times \ldots \times 25 \times 27 \times 3\] \[= 2 \times (3 \times 2 \times 6 \times 4 \times 8 \times \ldots \times 26 \times 27 - 3 \times 5 \times 7 \times \ldots \times 25 \times 27 \times 3)\]

Теперь оба произведения содержат последовательность четных чисел от 2 до 26 и последовательность нечетных чисел от 1 до 25, и они совпадают.

Таким образом, разность обнуляется:

\[2 \times (3 \times 2 \times 6 \times 4 \times 8 \times \ldots \times 26 \times 27 - 3 \times 5 \times 7 \times \ldots \times 25 \times 27 \times 3) = 0\]

Таким образом, разность оканчивается цифрой 0.