Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями: y=2x-1, y=-x+5, y=0

Answer 1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями \(y = 2x - 1\), \(y = -x + 5\) и \(y = 0\), нужно определить точки их пересечения. Пересечения линий могут быть найдены, приравняв уравнения друг к другу.

1. \(y = 2x - 1\) и \(y = -x + 5\):

\(2x - 1 = -x + 5\)

Решим уравнение относительно \(x\):

\(3x = 6\)

\(x = 2\)

Подставим \(x = 2\) в любое из уравнений, например, в \(y = 2x - 1\):

\(y = 2 \times 2 - 1 = 3\)

Таким образом, точка пересечения для этих двух линий: \((2, 3)\).

2. \(y = 2x - 1\) и \(y = 0\):

При \(y = 0\), уравнение принимает вид \(2x - 1 = 0\).

Решим относительно \(x\):

\(2x = 1\)

\(x = \frac{1}{2}\)

Таким образом, точка пересечения для этих двух линий: \(\left(\frac{1}{2}, 0\)\).

3. \(y = -x + 5\) и \(y = 0\):

При \(y = 0\), уравнение принимает вид \(-x + 5 = 0\).

Решим относительно \(x\):

\(x = 5\)

Таким образом, точка пересечения для этих двух линий: \((5, 0)\).

Таким образом, у нас есть три точки пересечения: \((2, 3)\), \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) и \((5, 0)\). Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями и осью \(y\), нужно взять интеграл от \(y = 0\) до \(y = 3\) для \(x = 2\) и от \(y = 0\) до \(y = 5\) для \(x = \frac{1}{2}\) до \(x = 5\).

Площадь можно вычислить следующим образом:

\[ \text{Площадь} = \int_{0}^{3} (2x - 1) \,dx + \int_{\frac{1}{2}}^{5}(-x + 5) \,dx \]

Решив эти интегралы, вы получите значение площади фигуры. Желательно использовать программное средство для вычисления интегралов или таблицы интегралов для решения этих интегралов.