Question

Какое наибольшее значение может быть у наибольшего общего делителя чисел 13n + 5 и 19n + 2, еслиn — натуральное число?

Answer 1

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел не может быть больше самого меньшего из этих чисел.

В данном случае у нас есть два выражения: 13n + 5 и 19n + 2.

Чтобы найти наибольший общий делитель этих выражений, мы можем использовать алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида заключается в последовательном делении двух чисел, где делимое заменяется на остаток от деления, пока этот остаток не станет равным нулю. Затем НОД будет равен последнему ненулевому остатку.

Применим алгоритм Евклида к данным выражениям:

13n + 5 = (13n + 5) - 4(19n + 2) = -77n - 3 19n + 2 = (19n + 2) - 2(-77n - 3) = 2n + 8

Повторим этот процесс, пока не получим нулевой остаток:

-77n - 3 = (-77n - 3) - 38(2n + 8) = -3n - 307 2n + 8 = (2n + 8) - 2(-3n - 307) = 622

-3n - 307 = (-3n - 307) - 207(622) = -1

Таким образом, наибольший общий делитель чисел 13n + 5 и 19n + 2 равен 1. Он не может быть больше самого меньшего из этих чисел, поэтому наибольшее значение НОД равно 1.