Question

\frac{ x^{2} -5x - 6 }{ x^{2} - 1 } \leq \frac{x - 9}{x - 1} + \frac{2}{x - 3}

Answer 1

Давайте рассмотрим данное неравенство и попробуем его разрешить:

\[ \frac{x^{2} - 5x - 6}{x^{2} - 1} + \frac{x - 9}{x - 1} + \frac{2}{x - 3} \leq 0 \]

Сначала упростим числитель и знаменатель в каждой из дробей:

1. \(\frac{x^{2} - 5x - 6}{x^{2} - 1}\): Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \(x^{2} - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1)\)

Знаменатель: \(x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)\)

Таким образом, дробь становится \(\frac{(x - 6)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}\).

2. \(\frac{x - 9}{x - 1}\): Эта дробь уже не может быть упрощена.

3. \(\frac{2}{x - 3}\): Эта дробь уже не может быть упрощена.

Теперь мы можем переписать исходное неравенство с упрощенными дробями:

\[ \frac{(x - 6)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{x - 9}{x - 1} + \frac{2}{x - 3} \leq 0 \]

Далее, найдем общий знаменатель, чтобы сложить дроби:

Общий знаменатель: \((x - 1)(x + 1)(x - 3)\)

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

\[ \frac{(x - 6)(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)} + \frac{(x - 9)(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)} + \frac{2(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)} \leq 0 \]

Теперь складываем числители:

\[ \frac{(x - 6)(x + 1)(x - 3) + (x - 9)(x + 1)(x - 3) + 2(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)} \leq 0 \]

Раскрываем скобки в числителе:

\[ \frac{(x^3 - 8x^2 + 9x + 54) + (x^3 - 11x^2 + 24x + 27) + 2(x^2 - 1)}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)} \leq 0 \]

Складываем все слагаемые в числителе:

\[ \frac{2x^3 - 19x^2 + 33x + 80}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)} \leq 0 \]

Теперь найдем значения \(x\), при которых числитель и знаменатель меняют знак. Это будут точки разрыва и корни уравнения в знаменателе. Таким образом, мы должны решить уравнения:

1. \(x - 1 = 0\) --> \(x = 1\) 2. \(x + 1 = 0\) --> \(x = -1\) 3. \(x - 3 = 0\) --> \(x = 3\) 4. \(2x^3 - 19x^2 + 33x + 80 = 0\)

Решение последнего уравнения может быть сложным и требовать использования численных методов.

Теперь создадим интервалы на числовой прямой, разделенные найденными значениями \(x\). В каждом интервале определим знак выражения \(\frac{2x^3 - 19x^2 + 33x + 80}{(x - 1)(x + 1)(x - 3)}\). Таким образом, мы определим, когда данное выражение меньше или равно нулю, что и будет являться решением исходного неравенства.

Итак, смотрим на интервалы:

1. \((-\infty, -1)\): Выбираем точку, например, \(x = -2\) и подставляем в выражение. Получаем отрицательное значение. 2. \((-1, 1)\): Выбираем точку, например, \(x = 0\) и подставляем в выражение. Получаем положительное значение. 3. \((1, 3)\): Выбираем точку, например, \(x = 2\) и подставляем в выражение. Получаем отрицательное значение. 4. \((3, \infty)\): Выбираем точку, например, \(x = 4\) и подставляем в выражение. Получаем положительное значение.

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал \((-1, 1) \cup (3, \infty)\).