Question

Обчислити інтеграл від 1 до 4 (2x-1/2√x)dx

Answer 1

Звісно, обчислимо данний інтеграл:

\[ \int_{1}^{4} \left(2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \,dx \]

Для цього розкриємо дужки та розглянемо кожний член окремо:

\[ \int_{1}^{4} 2x \,dx - \int_{1}^{4} \frac{1}{2\sqrt{x}} \,dx \]

Тепер знайдемо антипохідні для кожного члена.

1. Для \(\int 2x \,dx\): \[ \int 2x \,dx = x^2 \]

2. Для \(\int \frac{1}{2\sqrt{x}} \,dx\): \[ \int \frac{1}{2\sqrt{x}} \,dx = \sqrt{x} \]

Тепер підставимо верхню та нижню межі і віднімемо результати:

\[ \left[x^2 - \sqrt{x}\right]_{1}^{4} \]

Підставимо верхню межу \(4\):

\[ (4^2 - \sqrt{4}) - (1^2 - \sqrt{1}) \]

Спростимо:

\[ (16 - 2) - (1 - 1) = 15 \]

Отже, \(\int_{1}^{4} \left(2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \,dx = 15\).