Question

1.Найдите область определения функции 2.Решите уравнение 3.Решите неравенство 4.Решите уравнение 5.Решите уравнение 6.решите систему уравнений 7.Доведите что число есть целым

Answer 1

1. $y=\log_7(2x-9)$
Подлогарифмическое выражение принимает положительное значение.
2x-9 > 0
x > 4.5

Область определения функции: $D(y) = (4.5;+\infty)$

2. 1) $\log_8x= \frac{1}{3}$
ОДЗ:$x\ \textgreater \ 0$
Правую часть уравнения запишем по свойству логарифмов$\log_aa^b=b$, тоесть, в нашем случае так будет:

$\log_8x=\log_88^{\frac{1}{3}}$
Основания логарифмов одинаковы, значит имеем:
$x=8^{\frac{1}{3}}=(2^3)^{\frac{1}{3}}=2$

Ответ: $2.$

2) $\log_{11}(x^2-8x+25)=\log_{11}10$
ОДЗ: $x^2-8x+25\ \textgreater \ 0$
очевидно, что ОДЗ у нас будет принимать при любых х, т.е. представим левую часть как $(x-4)^2+9\ \textgreater \ 0$, отсюда следует, что при всех значениях х неравенство верное.

Основания одинаковы, значит по свойство логарифмов
$x^2-8x+25=10\\ x^2-8x+15=0$

По т. Виета: $x_1=3;\,\,\, x_2=5$

Ответ: $3;5.$

3. $\log_3(x+2) \leq \log_34$
ОДЗ : $x+2\ \textgreater \ 0$ отсюда следует, что $x\ \textgreater \ -2$
Так как основания $3\ \textgreater \ 1$, функция возрастающая, а значит знак неравенства не меняется, тоесть:
 $x+2 \leq 4\\ x \leq 2$

C учетом ОДЗ имеем общее решение $-2\ \textless \ x \leq 2$

Ответ: $x \in (-2;2]$

4. 1)$\log_4(x+3)+\log_4(x+15)=3$
ОДЗ: $\begin{cases} & \text{ } x+3\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x+15\ \textgreater \ 0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x\ \textgreater \ -3 \\ & \text{ } x\ \textgreater \ -15 \end{cases}\Rightarrow\boxed{x\ \textgreater \ -3}$
По свойству логарифмов: $\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)$

$\log_4((x+3)(x+15))=3\\ \log_4((x+3)(x+15))=\log_44^3\\ (x+3)(x+15)=4^3\\ x^2+18x+45=64\\ x^2+18x-19=0$
По т. Виета:
 $x_1=-9\\ x_2=1$

Корень $x_1=-19$ не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: $1.$

2) $2\log_2^2x+3\log_2x^3=5$
ОДЗ: $x\ \textgreater \ 0$

В левой части уравнения второе слагаемое перепишем по свойству логарифмов $\log_ab^c=c\log_ab$, тоесть:
$2\log_2^2x+3\cdot 3\log_2x=5\\ 2\log_2^2x+9\log_2x=5$

Пусть $\log_2x=t\,\,(t\in R)$, тогда
$2t^2+9t-5=0$
Решаем обычное квадратное уравнение
$D=b^2-4ac=9^2-4\cdot2\cdot(-5)=121;\,\, \sqrt{D} =11\\ t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{-9+11}{2\cdot2} =-0.5;\\ t_2= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{-9-11}{2\cdot2} =-5$

Обратная замена:
$\log_2x=-0.5;\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x=2^{-0.5}= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \log_2x=-5;\,\,\,\Rightarrow\,\,\, x=2^{-5}= \frac{1}{32}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{32}$

5. $\lg^2x-\lg x-2\ \textgreater \ 0$
ОДЗ: $x\ \textgreater \ 0$
Приравниваем к нулю.

$\lg^2x-\lg x-2=0$
Пусть $\lg x=t$, тогда получаем
$t^2-t-2=0$
По т. Виета: 
$t_1=2;\,\,t_2=-1$

Обратная замена:
$\lg x=2\\ \lg x=\lg 10^2\\ x_1=100;\,\,\, \lg x= -1\\ \lg x=\lg 10^{-1}\\ x=0.1$

___+___(0.1)__-____(100)____+_____

$x \in (-\infty;0.1)\cup(100;+\infty)$

С учетом ОДЗ, общее решение: $x \in (0;0.1)\cup(100;+\infty)$

Ответ: $x \in (0;0.1)\cup(100;+\infty)$

6. $\begin{cases} & \text{ } \log_yx+9\log_xy=6 \\ & \text{ } xy=16 \end{cases}$
ОДЗ: $\begin{cases} & \text{ } x\ne 1 \\ & \text{ } y\ne1 \\ & \text{ } y\ \textgreater \ 0 \\ & \text{ } x\ \textgreater \ 0 \end{cases}$

В (1) уравнение, второе слагаемое перейдем к новому основанию
  $\begin{cases} & \text{ } \log_yx+9\cdot \frac{\log_yy}{\log_yx}=6 \\ & \text{ } xy= 16 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } \log_y \frac{16}{y}+9\cdot \frac{1}{\log_y \frac{16}{y} } =6 \\ & \text{ } x= \frac{16}{y} \end{cases}$
По свойству логарифмов: $\log_ab-\log_ac=\log_a \frac{b}{c}$

$\log_y16-\log_yy+9\cdot \frac{1}{\log_y16-\log_yy} =6\\ \log_y16-1+9\cdot \frac{1}{\log_y16-1}=6$
Пусть $\log_y16=t$, получаем
$t+ \frac{9}{t-1}=7|\cdot(t-1)\\ t^2-t+9=7t-7\\ t^2-8t+16=0\\ (t-4)^2=0\\ t=4$

Обратная замена:
$\log_y16=4\\ \log_y16=\log_yy^4\\ y^4=16\\ y^4=2^4\\ y=2$
Итак, нашли значение у, теперь осталось найти х

$x= \frac{16}{y}=8$

Ответ: $(8;2)$


7. $\log_{8+3 \sqrt{7} }(8-3 \sqrt{7} )\,\,\,\boxed{=}$
Домножим на сопряженное($8+3 \sqrt{7}$)
$\boxed{=}\,\,\log_{8+3 \sqrt{7} } \frac{8^2-(3 \sqrt{7})^2 }{8+3 \sqrt{7} } =\log_{8+3 \sqrt{7} } \frac{64-63}{8+3 \sqrt{7} } =\log_{8+3 \sqrt{7} }(8+3 \sqrt{7} )^{-1}=-1$

Что и требовалось доказать