Question

В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ=8, а боковая сторона ВС=5. Из центра О вписанной в треугольник окружности, восставлен перпенликуляр ОК к плоскости АВС. Если ОК=(4корень из 3)/3, то расстояние от точки К до прямой АВ равно?

Answer 1

Найдём радиус вписанной в треугольник окружности - он равен проекции отрезка из К к АВ.
r = 2S/p.
Площадь АВС равна:
S(ABC) = (1/2)*h*AB.
h = √(5²-(8/2)²) = √(25-16) = √9 = 3.
S = (1/2)*3*8 = 12 кв. ед.
Тогда r = 2*12/(2*5+8) = 24/18 = 4/3.
Расстояние L от точки К до прямой АВ равно:
L = √(OK²+r²) = √((48/9)+(16/9)) = √(64/9) = 8/3.

Answer 2

Рассмотрим треугольник АВС. Так как треугольник АВС является равнобедренным, то боковые стороны АВ и BC равны. Из условия известно, что АВ = 8 и ВС = 5.

Построим вписанную в треугольник окружность и проведем перпендикуляр ОК к плоскости АВС из центра О вписанной окружности.

Так как ОК является высотой треугольника АВС, то треугольник ОКВ является прямоугольным. ОК, как есть, равно (4корень из 3)/3.

Для вычисления расстояния от точки К до прямой АВ, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ОКВ.

Имеем: ОВ² = ОК² + КВ²

КВ = √(ОВ² - ОК²) = √(8² - ((4корень из 3)/3)²) = √(64 - (16/3)²) = √(64 - (256/9)) = √((576-256)/9) = √(320/9) = (8√5)/3

Таким образом, расстояние от точки К до прямой АВ равно (8√5)/3.