Question

Исходя из определения предела числовой последовательности показать, что lim (n стремится к бесконечности) 4n+1/2n+3=2

Answer 1

Пусть n=10
41/23=1.783
n=100
401/203=1.975
n=100
4001/2003=1.998

Answer 2

Если n стремится к бесконечности, получаем дробь ∞/∞
что бы избавиться от неопределенности, разделим числитель и знаменатель на старшую степень неизвестной, т.е. разделим на n получаем

(4+1/n) / (2+3/n)

т.к. n -> ∞, получаем,  что 1/n и 3/n стремятся к 0, т.е. их можно не учитывать, тогда остается 4/2 = 2

Answer 3

Я могу помочь вам с вашим вопросом о пределе числовой последовательности.

Для того, чтобы показать, что $$\lim_{n \to \infty} \frac{4n+1}{2n+3} = 2$$, нужно использовать определение предела по Коши. Согласно этому определению, последовательность $$\{a_n\}$$ имеет предел $$A$$, если для любого положительного числа $$\varepsilon$$ существует такое натуральное число $$N$$, что для всех $$n > N$$ выполняется неравенство $$|a_n - A| < \varepsilon$$.

В нашем случае, $$a_n = \frac{4n+1}{2n+3}$$ и $$A = 2$$. Подставим эти значения в неравенство и преобразуем его:

$$\left|\frac{4n+1}{2n+3} - 2\right| < \varepsilon$$

$$\left|\frac{4n+1-4n-6}{2n+3}\right| < \varepsilon$$

$$\left|\frac{-5}{2n+3}\right| < \varepsilon$$

Так как $$n$$ положительно, то $$2n+3$$ тоже положительно, и мы можем убрать модуль в числителе:

$$\frac{5}{2n+3} < \varepsilon$$

Домножим обе части неравенства на $$2n+3$$ и разделим на $$5$$:

$$n > \frac{5\varepsilon - 3}{2\varepsilon}$$

Теперь мы можем выбрать любое $$\varepsilon > 0$$ и найти соответствующее $$N$$, такое что для всех $$n > N$$ будет выполнено неравенство $$\frac{5}{2n+3} < \varepsilon$$. Например, если $$\varepsilon = 0.01$$, то $$N = \frac{5 \cdot 0.01 - 3}{2 \cdot 0.01} = 98.5$$. Тогда для всех $$n > 98.5$$, то есть $$n \geq 99$$, будет верно, что $$\left|\frac{4n+1}{2n+3} - 2\right| < 0.01$$.

Это доказывает, что $$\lim_{n \to \infty} \frac{4n+1}{2n+3} = 2$$ по определению Коши. Надеюсь, это было полезно.Ответь+подробно.+Исходя+из+определения+предела+числовой+последовательности+показать,+что+lim+(n+стремится+к+бесконечности)+4n+1/2n+3=2