Question

На стороне AB прямоугольника ABCD взята точка F так что BF=8см Найти расстояние между центрами окружностей вписанных в треугольник CBF и трапецию AFCD если известно что BC 6см

Answer 1

Трапеция AFCD - прямоугольная.
Если в неё вписана окружность, то сумма противолежащих сторон равна.
Радиус  её R1 равен половине АД:
R1 = 6/2 = 3 см.
Точку касания этой окружности стороны АВ обозначим К.
Отрезок FC по Пифагору равен √(6²+8²) = √100 = 10 см.
Пусть отрезок KF = x.
Тогда 3+х+3+х+8 = 6+10.
2х = 16-14 = 2.
х = 1.
Отсюда АВ = СД = 3+1+8 = 12 см.
Рассмотрим прямоугольник АВСД в системе координат:
- точка д в начале,
- ДС по оси Ох.
Координаты центра О1 вписанной окружности в трапецию AFCD равны:
О1(3; 3).
Переходим к рассмотрению треугольника FBC.
Длины сторон и координаты его вершин:
         F         B          C       
х =   4          12        12
у =   6           6           0.
FB = 8,   DC = 6,   FC = 10.
Теперь находим координаты точки О2 - центра вписанной в треугольник FВC окружности.
Хо2 =  (ВС*Хf+FС*Хв+FВ*Хс)/ Р = 10.
Уо2 =  (ВС*Уf+FС*Yв+FВ*Ус)/ Р = 4.
Теперь можно найти расстояние О1О2 между центрами окружностей вписанных в треугольник CBF и трапецию AFCD:
О1О2 = √(10-3)²+(4-3)²) = √(49+1) = √50 = 5√2 ≈  7,071068.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами окружностей, вписанных в треугольник.

Если в треугольнике есть окружность, вписанная в один из углов, то ее центр является точкой пересечения биссектрис угла и лежит на стороне, противоположной этому углу.

Рассмотрим треугольник CBF. Окружность, вписанная в этот треугольник, будет иметь свой центр на биссектрисе угла C и будет касаться стороны CB. Обозначим центр этой окружности как O1.

Рассмотрим также трапецию AFCB. Окружность, вписанная в эту трапецию, будет иметь свой центр на биссектрисе угла A и будет касаться сторон AF, FC и AB. Обозначим центр этой окружности как O2.

Так как точка F находится на стороне AB прямоугольника ABCD и BF = 8 см, то AB = BF = 8 см.

Также известно, что BC = 6 см.

Теперь нам нужно найти расстояние между центрами окружностей O1 и O2.

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то угол A = 90 градусов. Значит, биссектриса этого угла будет проходить через середину гипотенузы AC.

Так как AB = AC, то точка O2, являющаяся центром вписанной окружности в трапецию AFCB, будет находиться на середине гипотенузы AC. Обозначим середину гипотенузы AC как M.

Так как BC = 6 см, то AC = 2 * BC = 2 * 6 см = 12 см.

Теперь нужно найти расстояние между точками O1 и O2. Обозначим это расстояние как d.

Так как O2 находится на середине гипотенузы AC, а точка O1 находится на биссектрисе угла C, можно предположить, что треугольник O1MO2 равнобедренный.

Также известно, что треугольник ABC прямоугольный, значит, угол C равен 90 градусов. Так как O1 находится на биссектрисе угла C, то угол O1MC = 45 градусов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник O1MC. Угол O1MC = 45 градусов, а гипотенуза OC равна расстоянию между центрами окружностей O1 и O2, то есть d.

Так как треугольник O1MC прямоугольный, можно воспользоваться теоремой Пифагора:

OC^2 = O1M^2 + MC^2

Соответственно,

d^2 = O1M^2 + MC^2

Теперь нужно найти O1M и MC.

Так как O1 находится на биссектрисе угла C, а точка F находится на стороне AB прямоугольника ABCD, можно предположить, что треугольник O1FC равнобедренный.

Тогда O1F = FC.

Также известно, что BC = 6 см и AB = BF = 8 см, а треугольник ABC прямоугольный, поэтому AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(8^2 + 6^2) = sqrt(64 + 36) = sqrt(100) = 10 см.

Так как M находится на середине гипотенузы AC, то AM = MC = AC / 2 = 10 см / 2 = 5 см.

Теперь нужно найти O1M.

Треугольник O1MF – равнобедренный, поэтому O1F = MF.

Так как AB = BF = 8 см, а треугольник ABF прямоугольный, то AF = sqrt(AB^2 + BF^2) = sqrt(8^2 + 8^2) = sqrt(64 + 64) = sqrt(128) = 8√2 см.

То есть AF = 8√2 см.

Так как точка F находится на стороне AB прямоугольника ABCD, то AF = BF = 8 см.

Также известно, что AM = MC = 5 см, поэтому O1M = O1F - MF = BF - MC = 8 см - 5 см = 3 см.

Теперь мы можем найти d^2:

d^2 = O1M^2 + MC^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34.

Таким образом, расстояние между центрами окружностей O1 и O2 равно sqrt(34) см.