Question

Докажите,что из натуральных чисел от 1 до 20 нельзя выбрать 15 чисел так,чтобы их сумма была равна сумме остальных чисел.

Answer 1

Вот почему:

1+20

2+19

3+18

4+17

5+16

6+15

и т.д до 10+11

Все эти суммы равны 21 всего таких сумм 10

Answer 2

Давайте рассмотрим это утверждение подробнее. Мы хотим доказать, что из натуральных чисел от 1 до 20 нельзя выбрать 15 чисел так, чтобы их сумма была равна сумме остальных чисел.

Сначала найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 20. Это можно сделать с использованием формулы для суммы арифметической прогрессии:

\[ S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

где \( n \) - количество членов последовательности, \( a_1 \) - первый член, \( a_n \) - последний член.

В данном случае у нас есть последовательность от 1 до 20, и количество членов \( n = 20 \). Подставим значения:

\[ S = \frac{20}{2} \cdot (1 + 20) = 10 \cdot 21 = 210 \]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел от 1 до 20 равна 210.

Теперь давайте предположим, что мы можем выбрать 15 чисел так, чтобы сумма этих чисел была равна сумме остальных 5 чисел. Пусть эти числа будут \( a_1, a_2, ..., a_{15} \), а остальные 5 чисел будут \( b_1, b_2, ..., b_5 \).

Тогда у нас есть следующее уравнение:

\[ a_1 + a_2 + \ldots + a_{15} = b_1 + b_2 + \ldots + b_5 \]

Мы знаем, что сумма всех чисел от 1 до 20 равна 210, поэтому:

\[ a_1 + a_2 + \ldots + a_{15} + b_1 + b_2 + \ldots + b_5 = 210 \]

Но у нас уже есть уравнение, в котором левая и правая части равны, и оно гласит, что сумма 15 чисел равна сумме остальных 5. Получается, что мы просто складываем все числа от 1 до 20, и результат всегда будет 210.

Таким образом, из натуральных чисел от 1 до 20 нельзя выбрать 15 чисел так, чтобы их сумма была равна сумме остальных чисел.