Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ!!!!!!Найти производные функций: а) S=∛(t^2+t+2 ) и вычислите S'(2) b)Найти вторую производную функции f(x)=(x^2-4)/(x^2+4) и вычислить f''(-1) С решением

Answer 1

$a)\; \; S=\sqrt[3]{t^2+t+2} =(t^2+t+2)^{1/3}\\\\S'=\frac{1}{3}\cdot (t^2+t+2)^{-\frac{2}{3}}\cdot (2t+1)=\frac{2t+1}{3\cdot \sqrt[3]{(t^2+t+2)^2}} \\\\S'(2)=\frac{5}{3\cdot \sqrt[3]{8^2}}= \frac{5}{3\sqrt[3]{2^6}}= \frac{5}{3\cdot 2^2}= \frac{5}{12}\\\\b)\; \; f(x)= \frac{x^2-4}{x^2+4}=\frac{x^2+4-8}{x^2+4} =1- \frac{8}{x^2+4}\\\\f'(x)=- \frac{-8\cdot 2x}{(x^2+4)^2} = \frac{16x}{(x^2+4)^2} \\\\f''(x)= \frac{16(x^2+4)^2-16x\cdot 2(x^2+4)\cdot 2x}{(x^2+4)^4}=\frac{16(x^2+4)-64x^2}{(x^2+4)^3}=\frac{16(x^2+4-4x^2)}{(x^2+4)^3}$

$f''(x)= \frac{16(4-3x^2)}{(x^2+4)^3} \\\\f''(-1)= \frac{16\cdot (4-3)}{5^3}= \frac{16}{125}=0,128$

Answer 2

a) Производная функции S = ∛(t^2 + t + 2)

Для вычисления производной функции S, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.

1. Найдем производную функции внутри кубического корня: d/dt (t^2 + t + 2) = 2t + 1

2. Теперь найдем производную всей функции S, используя правило дифференцирования сложной функции: S'(t) = 1/3 * (2t + 1)^(-2/3)

3. Чтобы вычислить S'(2), подставим t = 2 в выражение для производной: S'(2) = 1/3 * (2 * 2 + 1)^(-2/3) = 1/3 * (4 + 1)^(-2/3) = 1/3 * 5^(-2/3)

b) Вторая производная функции f(x) = (x^2 - 4)/(x^2 + 4)

Для вычисления второй производной функции f(x), мы сначала найдем первую производную, а затем возьмем производную от полученного выражения.

1. Найдем первую производную функции f(x): f'(x) = ((x^2 + 4) * (2x) - (x^2 - 4) * (2x))/(x^2 + 4)^2 = (2x^3 + 8x - 2x^3 + 8x)/(x^2 + 4)^2 = (16x)/(x^2 + 4)^2

2. Теперь найдем вторую производную, взяв производную от полученного выражения для первой производной: f''(x) = (d/dx)((16x)/(x^2 + 4)^2) = (16 * (x^2 + 4)^2 - 2 * (16x) * 2 * (x^2 + 4))/(x^2 + 4)^4 = (16(x^2 + 4)^2 - 64x^3 - 128x)/(x^2 + 4)^4

3. Чтобы вычислить f''(-1), подставим x = -1 в выражение для второй производной: f''(-1) = (16((-1)^2 + 4)^2 - 64(-1)^3 - 128(-1))/((-1)^2 + 4)^4 = (16(1 + 4)^2 + 64 + 128)/((1 + 4)^4) = (16(5)^2 + 64 + 128)/(5^4)

Надеюсь, это поможет вам! Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.