Question

9sin²x+25cos²x+32sinx*cosx-25=0Решите пж)))

Answer 1

9sin²x+25(cos²x-1)+32sinx*cosx=0
9sin²x-25sin²x+32sinx*cosx=0
32sinx*cosx-16sin²x=0
16sinx(16cosx-sinx)=0
16sinx=0
sinx=0
x=π\2+πn

16cosx-sinx=0
16cosx=sinx
16 =sinx/cosx
tgx=16
x=arcctg16 +πn

Answer 2

Давайте решим уравнение \(9\sin^2(x) + 25\cos^2(x) + 32\sin(x)\cos(x) - 25 = 0\).

Для начала, заметим, что у нас есть смешанный член \(32\sin(x)\cos(x)\), и мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями для его упрощения.

Используем тригонометрическую идентичность \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\):

\[9\sin^2(x) + 25\cos^2(x) + 16\sin(2x) - 25 = 0\]

Теперь преобразим уравнение, чтобы выразить его в квадратичной форме по отношению к \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\):

\[9\sin^2(x) + 16\sin(2x) + 25\cos^2(x) - 25 = 0\]

Теперь заметим, что мы можем выразить \(\sin^2(x)\) через \(\cos^2(x)\) и наоборот, используя тригонометрическую идентичность \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Подставим это в уравнение:

\[9(1 - \cos^2(x)) + 16\sin(2x) + 25\cos^2(x) - 25 = 0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[9 - 9\cos^2(x) + 16\sin(2x) + 25\cos^2(x) - 25 = 0\]

\[16\sin(2x) - 9\cos^2(x) + 25\cos^2(x) - 16 = 0\]

\[-9\cos^2(x) + 25\cos^2(x) + 16\sin(2x) - 16 = 0\]

\[16\sin(2x) + 16\cos^2(x) - 16 = 0\]

\[16(\sin(2x) + \cos^2(x) - 1) = 0\]

Теперь выразим \(\sin(2x)\) через \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\), используя тригонометрическую идентичность \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\):

\[16(2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) - 1) = 0\]

Теперь разбиваем уравнение на две части:

1. \(2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) - 1 = 0\) 2. \(\cos(x) = 0\) (получено из уравнения \(16 = 0\)).

Решим каждую из частей.

Часть 1:

\[2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) - 1 = 0\]

Выразим \(\cos^2(x)\) через \(\sin^2(x)\):

\[2\sin(x)\cos(x) + 1 - \sin^2(x) - 1 = 0\]

\[2\sin(x)\cos(x) - \sin^2(x) = 0\]

Выразим \(\sin(x)\) через \(\cos(x)\) с помощью тригонометрической идентичности \(\sin(x) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(x)}\):

\[2\cos(x)(\pm \sqrt{1 - \cos^2(x)}) - (1 - \cos^2(x)) = 0\]

Поделим обе части на \(\cos(x)\) (при условии \(\cos(x) \neq 0\)):

\[2(\pm \sqrt{1 - \cos^2(x)}) - \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos(x)} = 0\]

\[2(\pm \sqrt{1 - \cos^2(x)}) - \frac{1}{\cos(x)} + \cos(x) = 0\]

Теперь рассмотрим два случая:

a. \(2\sqrt{1 - \cos^2(x)} - \frac{1}{\cos(x)} + \cos(x) = 0\)

b. \(-2\sqrt{1 - \cos^2(x)} - \frac{1}{\cos(x)} + \cos(x) = 0\)

Часть 2:

\(\cos(x) = 0\)

Теперь рассмотрим все три уравнения:

1. \(2\sqrt{1 - \cos^2(x)} - \frac{1}{\cos(x)} + \cos(x) = 0\) 2. \(-2\sqrt{1 - \cos^2(x)} - \frac{1}{\cos(x)} + \cos(x) = 0\) 3. \(\cos(x) = 0\)

Решения первых двух уравнений могут быть найдены численно. Они представляют собой значения \(x\), при которых соответствующая функция равна нулю.

Для уравнения \(\cos(x) = 0\) решениями являются углы, кратные \(\frac{\pi}{2}\).

Обратите внимание, что уравнение может иметь разные корни в зависимости от выбора знака (\(\pm\)).