Question

Помогииитеее!!!пожалуйста!!!! а) интеграл от -1 до 2 dx/(1+2x)^3 б)интеграл от 2 до -1 ( 3x-5)^ 3dx в)интеграл от П/6 до П 1/2cos2x*sin^3*2x dx

Answer 1

Пшашашплюпоагаганвнв25334535352525

Answer 2

Решение:

a) Для вычисления интеграла от $\frac{dx}{(1+2x)^3}$ на интервале от -1 до 2, мы можем использовать метод подстановки.

Пусть $u = 1+2x$. Тогда $du = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}du$.

Подставляя это обратно в исходный интеграл, получаем:

$$\int_{-1}^{2} \frac{dx}{(1+2x)^3} = \frac{1}{2}\int_{-1}^{2} \frac{du}{u^3} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2u^2}\right) \Bigg|_{-1}^{2}$$

Вычисляя данное выражение, получаем:

$$\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2(2)^2}\right) - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2(-1)^2}\right) = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{8}\right) - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{16}$$

Таким образом, значение интеграла от $\frac{dx}{(1+2x)^3}$ на интервале от -1 до 2 равно $\frac{5}{16}$.

b) Для вычисления интеграла от $(3x-5)^3$ на интервале от 2 до -1, мы можем разложить данное выражение в куб многочлена и вычислить интегралы от каждого слагаемого по отдельности.

Раскладывая куб многочлена $(3x-5)^3$, получаем:

$$(3x-5)^3 = (27x^3 - 135x^2 + 225x - 125)$$

Теперь мы можем вычислить интегралы от каждого слагаемого:

$$\int_{2}^{-1} 27x^3\,dx = \left(\frac{27}{4}x^4\right) \Bigg|_{2}^{-1} = \frac{27}{4}(2^4) - \frac{27}{4}((-1)^4) = \frac{27}{4}(16) - \frac{27}{4} = \frac{27}{4}$$

$$\int_{2}^{-1} -135x^2\,dx = \left(-45x^3\right) \Bigg|_{2}^{-1} = -45(2^3) - (-45((-1)^3)) = -45(8) - (-45) = -360 + 45 = -315$$

$$\int_{2}^{-1} 225x\,dx = \left(\frac{225}{2}x^2\right) \Bigg|_{2}^{-1} = \frac{225}{2}(2^2) - \frac{225}{2}((-1)^2) = \frac{225}{2}(4) - \frac{225}{2} = 450 - 112.5 = 337.5$$

$$\int_{2}^{-1} -125\,dx = -125x \Bigg|_{2}^{-1} = -125(2) - (-125) = -250 + 125 = -125$$

Теперь, складывая интегралы от каждого слагаемого, получаем:

$$\int_{2}^{-1} (3x-5)^3\,dx = \frac{27}{4} - 315 + 337.5 - 125 = -75.5$$

Таким образом, значение интеграла от $(3x-5)^3$ на интервале от 2 до -1 равно -75.5.

c) Для вычисления интеграла от $\cos^2(2x) \sin^3(2x)$ на интервале от $\frac{\pi}{6}$ до $\pi$, мы можем использовать метод подстановки.

Пусть $u = \cos(2x)$. Тогда $du = -2\sin(2x)dx$, откуда $dx = -\frac{1}{2\sin(2x)}du$.

Подставляя это обратно в исходный интеграл, получаем:

$$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \cos^2(2x) \sin^3(2x)\,dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} u^2 \sin(2x) \left(-\frac{1}{2\sin(2x)}\right)\,du = -\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} u^2\,du$$

Вычисляя данное выражение, получаем:

$$-\frac{1}{2}\left(\frac{u^3}{3}\right) \Bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} = -\frac{1}{2}\left(\frac{\pi^3}{3}\right) - \left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi^3}{216}\right)\right) = -\frac{\pi^3}{6} + \frac{\pi^3}{216}$$

Таким образом, значение интеграла от $\cos^2(2x) \sin^3(2x)$ на интервале от $\frac{\pi}{6}$ до $\pi$ равно $-\frac{\pi^3}{6} + \frac{\pi^3}{216}$.