Question

3(^2n+1) + 1 делится на 4 Доказать

Answer 1

Не соглашусь с предыдущим ответом. На доказательство не тянет, так как кратность результата при n=1 может быть совпадением. Однако, про мат. индукцию верно, но не все так просто))

Итак: доказываем, что $3^{2n+1}+1$ кратно 4.
Пусть при n=k, верно, что $3^{2n+1}+1$ делится на 4. То есть
$3^{2k+1}+1=4m$ при некотором целом m.
Докажем, что при n=k+1 наше исходное выражение тоже делится на 4.
Исходное выражение превращается в
$3^{2(k+1)+1}+1 = 3^{2k+3}+1=3*3*3^{2k+1}+1=9*3^{2k+1}+1$
Теперь выразим $3^{2k+1}$ из нашего предыдущего утверждения $3^{2k+1}+1=4m$. Получается
$3^{2k+1}=4m-1$
Подставим его в выражение $9*3^{2k+1}+1$
Получаем 9(4m-1)+1 = 36m-9+1 = 36m-8
Оба слагаемых в конечном результате делятся на 4, из чего можем сделать вывод, что вся сумма тоже делится на 4, а значит выражение $3^{2n+1}+1$ тоже делится на 4.

Метод довольно сложен для восприятия. Если записать его пошагово на бумаге, то можно разобраться. Удачи!

Answer 2

Применим здесь метод математической индукции.
1) При n=1 имеем: 
3^(2*1+1)+1=28
28 делится на 4

что и требовалось доказать...вместо n можно подставить любое число и оно будет делиться на 4

Answer 3

Для доказательства, что выражение 3^(2n+1) + 1 делится на 4, мы можем использовать метод математической индукции. Давайте разберемся в деталях.

Базовый случай:

При n = 0, мы имеем 3^(2*0+1) + 1 = 3^1 + 1 = 4. Заметим, что 4 делится на 4 без остатка.

Индукционное предположение:

Предположим, что для некоторого k, выражение 3^(2k+1) + 1 делится на 4.

Индукционный шаг:

Теперь рассмотрим случай n = k + 1:

3^(2(k+1)+1) + 1 = 3^(2k+3) + 1

Мы можем переписать это выражение следующим образом:

3^(2k+3) + 1 = 3^(2k+1) * 3^2 + 1 = (3^(2k+1) * 9) + 1

Теперь давайте посмотрим на остаток от деления этого выражения на 4:

(3^(2k+1) * 9) + 1 ≡ (3^(2k+1) * 1) + 1 (mod 4)

Здесь мы использовали свойство модульной арифметики, что a ≡ b (mod m) означает, что a и b дают одинаковые остатки при делении на m.

Теперь давайте рассмотрим два случая:

Случай 1:

Если 3^(2k+1) делится на 4, то (3^(2k+1) * 1) + 1 ≡ 0 + 1 ≡ 1 (mod 4). Значит, выражение 3^(2(k+1)+1) + 1 не делится на 4.

Случай 2:

Если 3^(2k+1) не делится на 4, то мы можем записать 3^(2k+1) = 4m + r, где m - некоторое целое число, а r - остаток от деления 3^(2k+1) на 4. Тогда:

(3^(2k+1) * 1) + 1 ≡ (4m + r) * 1 + 1 ≡ 4m + r + 1 (mod 4)

Мы видим, что остаток от деления (4m + r + 1) на 4 равен 1. Значит, выражение 3^(2(k+1)+1) + 1 не делится на 4.

Вывод:

Из нашего индукционного доказательства следует, что для любого целого n выражение 3^(2n+1) + 1 не делится на 4.

Обратите внимание, что в данном доказательстве используется математическая индукция, которая является методом математического доказательства, и не требует написания программного кода.