Question

Провести полное исследование функции и построить график y = x^3 - 6x^2 + 9x

Answer 1

F (Y) = X^3 - 6X^2 + 9X

F'(Y) = 3X^2 - 12X

3X*(X - 4) = 0

X1 = 0

X2 = 4

Это экстремумы функции.

То есть мы нашли две точки со следующими координатами.

Точка A (0, 0) и Точка B (4. 0)

Теперь спокойно можно подставлять любые значения (по желанию, дополнительно) и чертить график. График этой функции -  кубическая парабола.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Давайте проведем полное исследование функции \(y = x^3 - 6x^2 + 9x\).

1. Нахождение производных:

Первая производная:

\[y' = 3x^2 - 12x + 9\]

Вторая производная:

\[y'' = 6x - 12\]

2. Нахождение точек экстремума и точек перегиба:

Найдем точки, где первая производная равна нулю:

\[3x^2 - 12x + 9 = 0\]

Решив это уравнение, мы найдем критические точки. Факторизуем уравнение: \[(x - 3)(3x - 3) = 0\]

Отсюда получаем две критические точки: \[x_1 = 3, \quad x_2 = 1\]

Подставим эти точки во вторую производную, чтобы определить характер экстремума:

\[y''(3) = 6 \cdot 3 - 12 = 6 > 0\] \[y''(1) = 6 \cdot 1 - 12 = -6 < 0\]

Таким образом, у нас есть локальный минимум в точке \(x = 3\) и локальный максимум в точке \(x = 1\).

Найдем точку перегиба, где вторая производная равна нулю:

\[6x - 12 = 0\] \[x = 2\]

3. Нахождение значений в найденных точках:

Подставим найденные значения \(x\) в исходную функцию \(y = x^3 - 6x^2 + 9x\):

\[y(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 = 4\]

\[y(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 = 1\]

\[y(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 = 0\]

4. Построение графика:

Теперь построим график функции \(y = x^3 - 6x^2 + 9x\), используя найденные значения.


На графике видно, как функция проходит через точки перегиба, минимума и максимума.

Таким образом, проведено полное исследование функции \(y = x^3 - 6x^2 + 9x\).