Question

Найдите наибольшее значение функции y=x+4x^-1+3 на промежутке [1;3] С подробным решением, пожалуйста

Answer 1

$y=x+4x^{-1}+3.\\y' = 1-4x^{-2}\\\mathbb{D}(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty) \\\mathbb{D}(y')=(-\infty;0)\cup(0;+\infty) \\\\(\mathbb{D}(y) \cup\mathbb{D}(y') ) \cap [1;3] = [1;3]\\y'=0\\1-\frac{4}{x^2}=0\\\frac{4}{x^2} = 1\\x^2 = 4\\x = \pm 2\\-2 \notin [1;3]\\2 \in [1;3]\\x\in [1;2] y'<0\\x\in[2;3] y'>0\\2 = \min_y\\y(1) = 1+4\cdot1^{-1}+3=1+4+3=8\\y(3) = 3+4\cdot3^{-1}+3 = 3+\frac{4}{3}+3=\frac{22}{3} < y(1)\\\\\max_y\in[1;3]= 8$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x + 4x^(-1) + 3 на промежутке [1;3], мы можем использовать производную функции. Найдем производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки функции.

Нахождение производной функции:

Для нахождения производной функции y = x + 4x^(-1) + 3, мы можем использовать правила дифференцирования. Производная функции будет равна:

y' = 1 - 4x^(-2)

Нахождение критических точек:

Чтобы найти критические точки функции, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

1 - 4x^(-2) = 0

Умножим обе части уравнения на x^2:

x^2 - 4 = 0

Решим это уравнение:

x^2 = 4

x = ±2

Определение экстремумов:

Теперь, чтобы определить, являются ли найденные точки экстремумами, мы можем использовать вторую производную тест. Найдем вторую производную функции:

y'' = 8x^(-3)

Подставим найденные критические точки во вторую производную:

y''(2) = 8(2)^(-3) = 8/8 = 1 y''(-2) = 8(-2)^(-3) = -8/8 = -1

Анализ результатов:

Из второй производной теста видно, что точка x = 2 является локальным минимумом, а точка x = -2 является локальным максимумом функции.

Нахождение значений функции:

Теперь, чтобы найти соответствующие значения функции y на промежутке [1;3], подставим найденные значения x в исходную функцию:

y(2) = 2 + 4(2)^(-1) + 3 = 2 + 4/2 + 3 = 2 + 2 + 3 = 7 y(-2) = -2 + 4(-2)^(-1) + 3 = -2 - 4/2 + 3 = -2 - 2 + 3 = -1

Таким образом, на промежутке [1;3] наибольшее значение функции y = x + 4x^(-1) + 3 равно 7, и достигается при x = 2.