Question

Частное решение дифференциального уравнения y'+2y-3=0 при X₀=0, Y₀= -1/2

Answer 1

$y'+2y-3=0$
Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительной производной.
Разрешим наше диф. уравнение 
$y'=3-2y$
Переходя к дифференциалам
$\dfrac{dy}{dx} =3-2y$ - уравнение с разделяющимися переменными.
Разделим переменные.
$\dfrac{dy}{3-2y} =dx$ - уравнение с разделёнными переменными.
Интегрируя обе части уравнения, получаем:
$\displaystyle \int\limits { \dfrac{dy}{3-2y} } \, = \int\limits{} \, dx$
$- \dfrac{1}{2} \cdot \ln|3-2y|=x+C$ - общий интеграл
Найдем произвольную постоянную С, подставив начальное условие.
$- \dfrac{1}{2} \cdot \ln|3-2\cdot (-0.5)|=0+C\\\\ - \dfrac{1}{2} \ln 4=C\\ \\ C=\ln\bigg(\dfrac{1}{2} \bigg)$
Для того, чтобы записать ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ, подставим найденное выражение С в общий интеграл
$- \dfrac{1}{2} \cdot \ln|3-2y|=x+\ln \bigg( \dfrac{1}{2} \bigg)$


Ответ: $- \dfrac{1}{2} \cdot \ln|3-2y|=x+\ln \bigg( \dfrac{1}{2} \bigg)$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка.

Для нахождения частного решения, сначала найдем общее решение данного уравнения. Для этого решим характеристическое уравнение, связанное с данной дифференциальной задачей:

r + 2 = 0

Отсюда получаем, что r = -2.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = C*e^(-2x),

где С - произвольная постоянная.

Далее, чтобы найти конкретное решение, подставим начальные условия x₀ = 0 и y₀ = -1/2:

-1/2 = C*e^(-2*0) = C.

Таким образом, получаем конкретное решение дифференциального уравнения:

y(x) = -1/2 * e^(-2x).