Question

Помогите решить, пожалуйста. z = 3+3i n = 16 Найти: z в степени n

Answer 1

В тригонометрической форме: z=3(cos pi/4 +sin pi/4)
z^16 по формуле Муавра равняется 3^16*(cos 4pi + sin 4pi)=3^16

Answer 2

Конечно, чтобы найти число \( z \) в степени \( n \), когда \( z = 3 + 3i \) и \( n = 16 \), нужно возвести комплексное число \( z \) в указанную степень \( n \).

Сначала представим число \( z \) в тригонометрической форме. Для этого найдем модуль \( |z| \) и аргумент \( \theta \) комплексного числа \( z \):

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \] где \( a \) и \( b \) - действительная и мнимая части числа \( z \):

\[ |z| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. \]

Аргумент \( \theta \) можно найти по формуле:

\[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right), \] где \( a \) и \( b \) - действительная и мнимая части числа \( z \):

\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{3}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}. \]

Теперь, когда мы знаем модуль \( |z| = 3\sqrt{2} \) и аргумент \( \theta = \frac{\pi}{4} \), можем записать \( z \) в тригонометрической форме:

\[ z = 3\sqrt{2} \cdot (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4})). \]

Чтобы возвести \( z \) в степень \( n = 16 \), используем теорему Муавра для комплексных чисел:

\[ z^n = |z|^n \cdot (\cos(n \cdot \theta) + i \sin(n \cdot \theta)). \]

Подставляем значения:

\[ z^{16} = (3\sqrt{2})^{16} \cdot (\cos(16 \cdot \frac{\pi}{4}) + i \sin(16 \cdot \frac{\pi}{4})). \]

Упростим:

\[ z^{16} = 3^{16} \cdot 2^8 \cdot (\cos(4\pi) + i \sin(4\pi)). \]

Так как \(\cos(4\pi) = \cos(2\pi) = 1\) и \(\sin(4\pi) = \sin(2\pi) = 0\), упрощаем еще больше:

\[ z^{16} = 3^{16} \cdot 2^8 \cdot (1 + i \cdot 0). \]

Таким образом, \(z^{16} = 3^{16} \cdot 2^8 = (3 \cdot 2^4)^{16} = 48^{16}\), что составляет очень большое комплексное число.

Мы вычислили \(z^{16}\) в тригонометрической форме, представив его в виде \(48^{16}\) и указав его аргументы.