Question

Найдите коэффициент четвертого члена в разложении бинома Ньютона (x+1)²¹

Answer 1

Коэффициент равен
С(3; 21) = 21*20*19/(1*2*3)=7*10*19=1530

Answer 2

Для нахождения коэффициента четвертого члена в разложении бинома Ньютона (x + 1)²¹, мы можем использовать формулу биномиального коэффициента.

Формула биномиального коэффициента определяет количество способов выбрать k объектов из n объектов. В общем виде, биномиальный коэффициент обозначается как C(n, k) и вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

где n! обозначает факториал числа n, который представляет собой произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

В нашем случае, у нас есть бином (x + 1)²¹, где n = 21. Мы хотим найти коэффициент четвертого члена, поэтому k = 4.

Теперь, чтобы найти коэффициент четвертого члена, мы можем использовать формулу биномиального коэффициента:

C(21, 4) = 21! / (4! * (21 - 4)!)

Вычислим это значение:

C(21, 4) = 21! / (4! * 17!)

Однако, для удобства вычислений, обратимся к свойству биномиального коэффициента: C(n, k) = C(n, n - k). Это свойство позволяет нам найти биномиальный коэффициент, если k ближе к n, чем к 0. В нашем случае, 4 ближе к 21, чем к 0, поэтому мы можем использовать это свойство:

C(21, 4) = C(21, 21 - 4)

C(21, 4) = C(21, 17)

Теперь мы можем вычислить это значение:

C(21, 4) = 21! / (4! * 17!)

Используя значения факториалов, мы можем записать это как:

C(21, 4) = (21 * 20 * 19 * 18 * 17!) / (4! * 17!)

Сокращая 17! в числителе и знаменателе, получим:

C(21, 4) = (21 * 20 * 19 * 18) / (4 * 3 * 2 * 1)

C(21, 4) = 5985

Таким образом, коэффициент четвертого члена в разложении бинома Ньютона (x + 1)²¹ равен 5985.