Question

Помогите, пожалуйста, решить. Всё, что можете, даже если это 1-2 примера.1) (x²+sin(y))*dx+(1+x*cos(y))*dy=02) y''*√y=y'3) y''-y'-6y=x²+124) (3x²y+sin(x))*dx+(x³-cos(y))*dy=05) y'*cos(x)+y=1-sin(x)

Answer 1

Посмотрите предложенные решения для первых трёх ДУ. Оформление не соблюдалось, проверка не проводилась.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и решим их.

1) \( (x^2 \sin(y)) \,dx + (1 + x \cos(y)) \,dy = 0 \)

Для начала, давайте проверим, является ли данное уравнение уравнением полного дифференциала. Для этого вычислим частные производные по \(x\) и \(y\):

\[ \frac{\partial}{\partial y} (x^2 \sin(y)) = x^2 \cos(y) \]

\[ \frac{\partial}{\partial x} (1 + x \cos(y)) = \cos(y) \]

Видим, что первые частные производные не совпадают. Попробуем умножить уравнение на некоторый интегрирующий множитель \( \mu(x, y) \):

\[ \mu(x, y) \cdot (x^2 \sin(y) \,dx + (1 + x \cos(y)) \,dy) = 0 \]

Попробуем выбрать \(\mu(x, y)\) так, чтобы уравнение стало точным. Обратите внимание, что \(\mu(x, y)\) зависит только от \(x\) и \(y\). Уравнение точно, если выполняется условие:

\[ \frac{\partial}{\partial y} (\mu(x, y) \cdot x^2 \sin(y)) = \frac{\partial}{\partial x} (\mu(x, y) \cdot (1 + x \cos(y))) \]

Выбираем \(\mu(x, y) = \frac{1}{\sin(y)}\). Проверим:

\[ \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{1}{\sin(y)} \cdot x^2 \sin(y)\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{\sin(y)} \cdot (1 + x \cos(y))\right) \]

Уравнение становится точным:

\[ \frac{\partial}{\partial y} (x^2) = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{\sin(y)} + x \cot(y)\right) \]

Теперь найдем его решение. Интегрируем по \(x\) и \(y\) отдельно:

\[ \int x^2 \,dx = \frac{1}{\sin(y)} + x \cot(y) + C_1 \]

Интегрируем по \(x\):

\[ \frac{1}{3}x^3 = \frac{1}{\sin(y)} + x \cot(y) + C_1 \]

Теперь решим относительно \(y\):

\[ \sin(y) = \frac{1}{\frac{1}{3}x^3 - x \cot(y) - C_1} \]

Это уравнение определит \(y\) как функцию от \(x\).

2) \(y'' \sqrt{y} = (y')^3\)

Это уравнение выглядит как дифференциальное уравнение второго порядка. Для его решения нужно провести замену переменных. Пусть \(u = y'\), тогда \(u' = y''\). Подставим это в уравнение:

\[ u' \sqrt{y} = u^3 \]

Разделим обе стороны на \(u^3 \sqrt{y}\):

\[ \frac{u'}{u^2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \]

Теперь проинтегрируем обе стороны:

\[ -\frac{1}{u} = 2\sqrt{y} + C_2 \]

Решим относительно \(u\):

\[ u = -\frac{1}{2\sqrt{y} + C_2} \]

Теперь проинтегрируем еще раз, чтобы получить выражение для \(y\). Интегрирование даст:

\[ y' = \int u \,dx = -\int \frac{1}{2\sqrt{y} + C_2} \,dx \]

Это интеграл, который можно попробовать вычислить, но форма зависит от конкретного вида \(C_2\).

3) \(y'' - y' - 6y = x^2 + 12\)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Частное решение можно искать в виде \(y_p = Ax^2 + Bx + C\), где \(A\), \(B\) и \(C\) - константы, которые нужно определить. Подставим эту функцию в уравнение и найдем значения констант:

\[ y_p'' - y_p' - 6y_p = 2A - 2A - 6(Ax^2 + Bx + C) = -6Ax^2 - 6Bx - 6C \]

Теперь приравниваем это к правой части уравнения \(x^2 + 12\):

\[ -6Ax^2 - 6Bx - 6C = x^2 + 12 \]

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) и находим значения \(A\), \(B\) и \(C\).

4) \( (3x^2y + \sin(x)) \,dx + (x^3 - \cos(y)) \,dy = 0 \)

Аналогично первому уравнению, давайте проверим, является ли это уравнение уравнением полного дифференциала. Проведем анализ частных производных:

\[ \frac{\partial}{\partial y} (3x^2y + \sin(x)) = 3x^2 \]

\[ \frac{\partial}{\partial x} (x^3 - \cos(y)) = 3x^2 \]