Question

Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен корень из 65 и все это делено на 9. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Трапеция АВСД, ВС=9, АД=54, АВ=27, cos углаА=корень65/9, sinA=корень(1-cosА в квадрате)=корень(1-65/81)=4/9, проводим высоту ВН на АД, треугольник АВН прямоугольный, ВН=АВ*sinA=27*4/9=12, площадь АВСД=1/2*(ВС+АД)*ВН=1/2*(9+54)*12=378

Answer 2

Площадь трапеции можно найти, зная длины оснований и высоту трапеции. В данном случае, нам известны основания трапеции (9 и 54) и длина одной из боковых сторон (27), а также косинус угла между этой боковой стороной и одним из оснований (равен косинус угла, деленному на 9, то есть \(\cos(\theta) = \frac{\sqrt{65}}{9}\)).

Первым шагом найдем высоту трапеции, используя известные данные.

По теореме косинусов можно найти длину высоты трапеции:

\(\cos(\theta) = \frac{\text{Основание} - \text{Основание}}{2 \times \text{Высота}}\)

Так как у нас даны основания и косинус угла, мы можем решить эту формулу для высоты:

\(\frac{\sqrt{65}}{9} = \frac{54 - 9}{2 \times \text{Высота}}\)

Решим это уравнение:

\(\text{Высота} = \frac{45}{2 \times \frac{\sqrt{65}}{9}}\)

\(\text{Высота} = \frac{45 \times 9}{2 \times \sqrt{65}}\)

\(\text{Высота} = \frac{405}{2 \times \sqrt{65}}\)

Теперь, когда мы нашли высоту, можем найти площадь трапеции, используя формулу:

\(\text{Площадь} = \frac{\text{Сумма оснований} \times \text{Высота}}{2}\)

\(\text{Площадь} = \frac{(9 + 54) \times \frac{405}{2 \times \sqrt{65}}}{2}\)

\(\text{Площадь} = \frac{63 \times \frac{405}{2 \times \sqrt{65}}}{2}\)

\(\text{Площадь} = \frac{12735}{4 \times \sqrt{65}}\)

Таким образом, площадь трапеции равна \(\frac{12735}{4 \times \sqrt{65}}\) квадратных единиц.