Question

Срочно!!!!Помогите пожалуйста!!!! Исследовать функцию f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2 на экстремум, точку перегиба и построить ее график

Answer 1

F`(x)=-3x^2+6x

f`(x)=0   -3x(x-2)=0
  x=0  x=2

_______0____2_______
    -            +          -
f(0)=f(min)=-2
f(2)=f(max)=2
f``(x)=6(1-x)=0    x=1 точка перегиба
f(1)=-1+3-2=0             
 

Answer 2

Для исследования функции f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2 на экстремумы, точку перегиба и построения ее графика, мы можем использовать методы дифференциального исчисления и анализа графиков функций.

Исследование на экстремумы:

Для определения экстремумов функции f(x), мы можем использовать производную функции. Экстремумы функции находятся в точках, где производная равна нулю или не существует.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = -3x^2 + 6x

2. Найдем точки, где производная равна нулю: -3x^2 + 6x = 0 x(-3x + 6) = 0 x = 0 или x = 2

Таким образом, у нас есть две точки, где производная равна нулю: x = 0 и x = 2.

3. Определим тип экстремума в каждой точке: - Для x = 0: - Проверим знак производной в окрестности точки x = 0. - При x < 0, f'(x) < 0, что означает, что функция убывает. - При x > 0, f'(x) > 0, что означает, что функция возрастает. - Таким образом, у нас есть локальный минимум в точке x = 0.

- Для x = 2: - Проверим знак производной в окрестности точки x = 2. - При x < 2, f'(x) > 0, что означает, что функция возрастает. - При x > 2, f'(x) < 0, что означает, что функция убывает. - Таким образом, у нас есть локальный максимум в точке x = 2.

Точка перегиба:

Точка перегиба функции находится в точке, где вторая производная равна нулю или не существует.

1. Найдем вторую производную функции f(x): f''(x) = -6x + 6

2. Найдем точку, где вторая производная равна нулю: -6x + 6 = 0 x = 1

Таким образом, у нас есть одна точка, где вторая производная равна нулю: x = 1.

3. Определим тип точки перегиба: - Проверим знак второй производной в окрестности точки x = 1. - При x < 1, f''(x) > 0, что означает, что функция выпукла вверх. - При x > 1, f''(x) < 0, что означает, что функция выпукла вниз. - Таким образом, у нас есть точка перегиба в точке x = 1.

Построение графика:

Для построения графика функции f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2, мы можем использовать полученную информацию о экстремумах и точке перегиба.


Вывод: - Функция f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2 имеет локальный минимум в точке x = 0 и локальный максимум в точке x = 2. - Точка перегиба находится в точке x = 1. - График функции f(x) показывает, как функция меняется в зависимости от значения x.