Question

Найти предел lim(стремится к0) sin2x/3x

Answer 1

Не буду писать «х стремится к 0», потому что это будет подозреваться в lim. lim(sin(2x)/3x) = (1/3)lim(sin(2x)/x) = (2/3)lim(sin(x)cos(x)/x) = (2/3)lim(sin(x)/x)*lim(cos(x)). lim(sin(x)/x) это первый замечательный предел, он равен 1. lim(cos(x)) тоже равен 1. То есть lim(sin(2x)/3x)=2/3

Answer 2

(2xcos2x-sin2x)/3x^2

Answer 3

Для нахождения предела \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(2x)}}{{3x}} \), можно воспользоваться правилом Лопиталя. Это правило применимо в тех случаях, когда при подстановке предела в исходную функцию получается неопределенность типа \( \frac{0}{0} \) или \( \frac{\infty}{\infty} \).

Итак, давайте применим правило Лопиталя:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(2x)}}{{3x}} = \frac{0}{0}. \]

Производная числителя:

\[ \frac{d(\sin(2x))}{dx} = 2\cos(2x). \]

Производная знаменателя:

\[ \frac{d(3x)}{dx} = 3. \]

Теперь можем снова взять предел:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{2\cos(2x)}{3}. \]

Подставляем \(x = 0\):

\[ \frac{2\cos(0)}{3} = \frac{2}{3}. \]

Таким образом, \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(2x)}}{{3x}} = \frac{2}{3}\).