Question

Случайная величина X принимает 2 возможных значения x1 = 2 и x2 = 7, причём значение x1 вчетверо вероятнее, чем x2 . Найти дисперсию случайной величины X.

Answer 1

Вероятность значения $x_2$ равна $p_2=\dfrac{1}{4}$, а вероятность значения $x_1$ равна $p_1=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

Закон распределения:

Xi      2        7

Pi     3/4      1/4

Математическое ожидание случайной величины X:

$MX=\displaystyle \sum_ix_ip_i=2\cdot \frac{3}{4}+7\cdot \frac{1}{4}=\frac{6}{4}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{13}{4}$

Дисперсия случайной величины X:

$DX=MX^2-(MX)^2=\displaystyle \sum_ix_i^2p_i-\left(\dfrac{13}{4}\right)^2=2^2\cdot \dfrac{3}{4}+7^2\cdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{169}{16}=\\ \\ \\ =\dfrac{48+196-169}{16}=\dfrac{75}{16}$

Ответ: 75/16

Answer 2

Для начала, нам нужно найти вероятности каждого значения случайной величины X.

Пусть P(X = x1) = p1 и P(X = x2) = p2.

Из условия задачи, мы знаем, что значение x1 вчетверо вероятнее, чем x2. То есть, p1 = 4p2.

Также, сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины X должна быть равна 1. То есть, p1 + p2 = 1.

Подставим значение p1 = 4p2 в уравнение p1 + p2 = 1:

4p2 + p2 = 1

5p2 = 1

p2 = 1/5

Теперь, найдем p1:

p1 = 4p2 = 4 * (1/5) = 4/5

Таким образом, мы получили, что P(X = 2) = 4/5 и P(X = 7) = 1/5.

Теперь, чтобы найти дисперсию случайной величины X, мы воспользуемся формулой:

Var(X) = E[(X - E(X))^2],

где E(X) - математическое ожидание случайной величины X.

Математическое ожидание E(X) можно найти так:

E(X) = x1 * P(X = x1) + x2 * P(X = x2).

Подставим значения:

E(X) = 2 * (4/5) + 7 * (1/5) = 8/5 + 7/5 = 15/5 = 3.

Теперь, найдем Var(X):

Var(X) = E[(X - E(X))^2] = (2 - 3)^2 * (4/5) + (7 - 3)^2 * (1/5) = 1 * (4/5) + 16 * (1/5) = 4/5 + 16/5 = 20/5 = 4.

Таким образом, дисперсия случайной величины X равна 4.