Question

Определители 2 го, 3 го порядков.оснавные свойства определителей

Answer 1

щей формулой: =.

2). В нашем примере: d=(-1)·2–(-5)·4 = 18.

Ответ: d=18.

Пример В–03: Вычислить определитель 2-го порядка: d=.

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой: =.

2). В нашем примере: d=(a+b)·(a+b)–(a–b)·(a–b) =.

Ответ: d =.

☻

Замечание:        формальное применение правила вычисления определителей 2-го порядка не вызывает никаких затруднений!

Определители 3-го порядка.

Определителем 3-го порядка называют число, представленное в виде специальнойконструкции: =, которой ставят в соответствие число, определяемое суммой, составленной из шести слагаемых (членов определителя):

=++–––.        (2)

Говорят, что правая часть выражения (2) определяет правило его вычисления определителя 3-го порядка. Соответствие, представленное выражением (2), легко запоминается, если использовать геометрическую схему составления членов определителя:

Рассмотрим несколько примеров вычисления определителей 3-го порядка, использующих в качестве своих элементов числа, или некоторые аналитические выражения.

Пример В–04: Вычислить определитель 3-го порядка: =.

Решение:

Вычислим определитель, применяя правило (2) и учитывая принятые обозначения:

=++–––, или:

==100.

Ответ: d = 100.

Пример В–05: Вычислить определитель 3-го порядка: =.

Решение:

Вычислим определитель, применяя правило (2) и учитывая принятые обозначения:

=++–––, или:

==1.

Ответ: d = 1.

Замечание: нетрудно заметить, что правило (1) вычисления определителя 2-го порядка запомнить значительно проще, чем правило (2) для определителей 3-го порядка!

☻

Оказывается, есть правило сведения вычисления определителя 3-го порядка к вычислению нескольких определителей 2-го порядка, а именно:

== –+,        (3)

или

== –+,        (4)

Обоснование правил (3) и (4) вычисления определителя 3-го порядка мы получим в теории определителей — го порядка.

 Замечание: правило (3) называют: вычисление определителя разложением по первой строке, а правило (4): разложение по первому столбцу.

Рассмотрим несколько примеров вычисления определителей 3-го порядка, использующих в качестве своих элементов числа, или некоторые аналитические выражения.

Пример В–06: Вычислить определитель 3-го порядка: d=.

Решение:

Вычислим определитель тремя способами: сначала применим правило (2), затем правило (3) и правило (4).

Способ 1. В соответствии с определением определителя 3-го порядка:

=++–––, или:

=100.

Способ 2. В соответствии с правилом (3) вычислим определитель 3-го порядка разложением по 1-й строке:

== –+, или

=100.

Способ 3. В соответствии с правилом (4) вычислим определитель 3-го порядка разложением по первому столбцу:

== –+, или

=100.

Ответ: d = 100.

Примеры на тему: Разложение определителя 2-го и 3-го порядка.

Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Общие сведения» для аналитической геометрии. Эти Примеры предназначены закрепить навыки вычисления определителей 2-го и 3-го порядков по принятым без доказательства правилам.

 ☻ 

Пример 1–5: Вычислить определитель: =.

Решение:

1). Воспользуемся свойством определителя: если строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

2). В нашем случае: .

Ответ: d =0.

Пример 2–8: Вычислить определитель: =.

Решение:

1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d==.

2). В нашем случае: d=·–·==–2.

Ответ: d =0.

Пример 3–43: Вычислить определитель:  =.

Решение:

Вычислим определитель тремя способами: сначала применим правило (2), затем правило (3) и правило (4).

Способ 1. В соответствии с определением определителя 3-го порядка:

=40.

Способ 2. В соответствии с правилом (3) вычислим определитель 3-го порядка разложением по 1-й строке:

==–+, или

=40.

Способ 3. В соответствии с правилом (4) вычислим определитель 3-го порядка разложением по первому столбцу:

==–+, или

=40.

Ответ: d = 40.

☻

Вопросы для самопроверки:

Как измеряют длину отрезка в геометрии, если доступны только рациональные числа?Почему в геометрии потребовались иррациональные числа?Можно ли измерить гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, если катеты равны 1, а числа используются только рациональные?Что такое вещественные числа?Что такое определитель 2-го порядка, как его вычисляют?Что такое определитель 3-го порядка, как его вычисляют?

Задачи для самоподготовки:

Пример 1–9: Вычислить определитель: =.

Ответ: d =1.

Пример 2–17: Вычислить определитель: .

Ответ: d =1.

Пример 14–47: Вычислить определитель:  =.

Ответ: d =0.

Пример 15–57: Вычислить определитель:  =.

Ответ: d =.

Пример 16–61: Вычислить определитель:  =.

Ответ: d =.

Answer 2

Определителями матрицы называются числа, которые определяются по элементам матрицы и используются для характеристики этой матрицы. Определитель матрицы определен только для квадратных матриц (матриц, у которых количество строк равно количеству столбцов).

Для определителя матрицы \( A \) порядка \( n \) используется обозначение \( \det(A) \) или \( |A| \).

Определители 2-го и 3-го порядков:

1. Определитель матрицы 2x2:

Если у нас есть матрица \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \], то определитель \( \det(A) \) вычисляется по формуле: \[ \det(A) = ad - bc \].

2. Определитель матрицы 3x3:

Если у нас есть матрица \[ B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \], то определитель \( \det(B) \) вычисляется по формуле: \[ \det(B) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \].

Основные свойства определителей:

1. Свойство линейности:

Для любых двух матриц \( A \) и \( B \) одинакового порядка и любого скаляра \( k \) справедливо: \[ \det(kA) = k^n \det(A) \] \[ \det(A + B) = \det(A) + \det(B) \]

2. Свойство нулевой строки или столбца:

Если матрица \( A \) содержит нулевую строку или столбец, то её определитель равен нулю.

3. Свойство перестановки строк или столбцов:

При перестановке двух строк (или двух столбцов) матрицы знак определителя меняется на противоположный.

4. Свойство выноса за скобки:

Если все элементы строки (или столбца) матрицы \( A \) можно представить в виде суммы двух слагаемых, то определитель матрицы \( A \) равен сумме определителей двух соответствующих матриц.

Эти свойства обеспечивают удобные методы вычисления определителей и использования их в линейной алгебре.

Answer 3

Определитель матрицы - это число, которое вычисляется для квадратной матрицы и имеет ряд основных свойств.

Определитель матрицы второго порядка: Для матрицы размером 2x2 определитель вычисляется следующим образом: det(A) = a11 * a22 - a12 * a21, где a11, a12, a21 и a22 - элементы матрицы A.

Основные свойства определителей матрицы второго порядка: 1. Определитель матрицы и ее транспонированной матрицы равны: det(A) = det(A^T). 2. Если поменять местами строки или столбцы матрицы, знак определителя изменится: det(A) = -det(A'). 3. Если все элементы строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то определитель также умножится на это число: det(kA) = k^n * det(A), где k - число, n - размерность матрицы.

Определитель матрицы третьего порядка: Для матрицы размером 3x3 определитель вычисляется следующим образом: det(A) = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a12 * a21 * a33 - a11 * a23 * a32, где a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32 и a33 - элементы матрицы A.

Основные свойства определителей матрицы третьего порядка: 1. Определитель матрицы и ее транспонированной матрицы равны: det(A) = det(A^T). 2. Если поменять местами строки или столбцы матрицы, знак определителя изменится: det(A) = -det(A'). 3. Если все элементы строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то определитель также умножится на это число: det(kA) = k^n * det(A), где k - число, n - размерность матрицы. 4. Если две строки или два столбца матрицы равны, то определитель равен нулю: det(A) = 0. 5. Если две строки или два столбца матрицы пропорциональны, то определитель равен нулю: det(A) = 0.

Эти свойства определителей позволяют использовать их для решения систем линейных уравнений, нахождения обратной матрицы и других задач линейной алгебры.