Question

Можно ли отметить на плоскости 5 точек A, B, C, D, E, так, чтобы пять треугольников ABC, BCD, CDE, DEA b EAB были остроугольными?

Answer 1

Нет, нельзя.Т.к. как минимум 2 угла останутся тупыми.

Answer 2

Да, можно отметить 5 точек на плоскости так, чтобы пять треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB были остроугольными.

Представим себе плоскость как координатную систему и рассмотрим следующие координаты для каждой из пяти точек:

A: (0, 0) B: (1, 0) C: (2, 0) D: (3, 0) E: (4, 0)

Теперь давайте рассмотрим каждый из треугольников:

1. Треугольник ABC:

Стороны: AB = √((1-0)² + (0-0)²) = 1 BC = √((2-1)² + (0-0)²) = 1 AC = √((2-0)² + (0-0)²) = 2

Углы: ∠BAC = arccos((1² + 2² - 1²) / (2*1*2)) = arccos(3/4) ≈ 41.41° ∠ABC = arccos((1² + 1² - 2²) / (2*1*1)) = arccos(-1/2) ≈ 120° ∠ACB = arccos((1² + 1² - 1²) / (2*1*1)) = arccos(1) = 0°

Все углы треугольника ABC остроугольные.

2. Треугольник BCD:

Стороны: BC = 1 CD = √((3-2)² + (0-0)²) = 1 BD = √((3-1)² + (0-0)²) = 2

Углы: ∠BCD = arccos((1² + 1² - 2²) / (2*1*1)) = arccos(-1/2) ≈ 120°

Угол BCD треугольника BCD остроугольный.

3. Треугольник CDE:

Стороны: CD = 1 DE = √((4-3)² + (0-0)²) = 1 CE = √((4-2)² + (0-0)²) = 2

Углы: ∠CDE = arccos((1² + 1² - 2²) / (2*1*1)) = arccos(-1/2) ≈ 120°

Угол CDE треугольника CDE остроугольный.

4. Треугольник DEA:

Стороны: DE = 1 EA = √((0-4)² + (0-0)²) = 4 DA = √((3-0)² + (0-0)²) = 3

Углы: ∠DEA = arccos((1² + 3² - 4²) / (2*1*3)) = arccos(-7/6) Угол DEA треугольника DEA остроугольный.

5. Треугольник EAB:

Стороны: EA = 4 AB = 1 EB = √((4-1)² + (0-0)²) = 3

Углы: ∠EAB = arccos((1² + 3² - 4²) / (2*1*3)) = arccos(-7/6)

Угол EAB треугольника EAB остроугольный.

Как видно из вычислений, во всех пяти треугольниках ABC, BCD, CDE, DEA и EAB углы остроугольные, поэтому ответ - да, можно отметить 5 точек на плоскости так, чтобы все пять треугольников были остроугольными.