Question

Теория вероятности.Студент пришёл на зачёт, зная ответы на 24 из 30 вопросов. Какова вероятность сдать зачёт, если требуется ответить минимум на 2 из 3ёх вопросов?

Answer 1

Ответ на рисунке. Повереите на 90 градусов.

Ура!

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением и комбинаторикой.

Обозначим вероятность правильного ответа на один вопрос как \(p\), а вероятность неправильного ответа как \(q = 1 - p\). Так как студент знает ответы на 24 из 30 вопросов, то \(p = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}\), и соответственно \(q = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\).

Теперь рассмотрим вероятность того, что студент ответит правильно на ровно 2 вопроса из 3. Это можно сделать 3 способами (например, правильно ответить на первые два вопроса, правильно ответить на последние два, или правильно ответить на первый и третий вопрос). Вероятность каждого такого события равна \(p^2 \cdot q\) (правильно-правильно-неправильно). Таким образом, вероятность сдать зачёт, ответив правильно минимум на 2 вопроса из 3, равна сумме вероятностей этих трех событий:

\[ P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = C(3,2) \cdot p^2 \cdot q + C(3,3) \cdot p^3 = 3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \frac{1}{5} + 1 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \]

Где \(C(n, k)\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\), равное \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Теперь подставим значения:

\[ P(X \geq 2) = 3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \frac{1}{5} + 1 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{48}{125} + \frac{64}{125} = \frac{112}{125} \]

Таким образом, вероятность сдать зачёт, ответив минимум на 2 из 3 вопросов, равна \(\frac{112}{125}\) или 0.896.