Question

Sin^3x+3*cos^3x=2cosx

Answer 1

$\sin^3x+3\cos^3x=2\cos x\\ \\ \sin^3x+\cos^3x+2\cos x(\cos^2x-1)=0\\ \\ \sin^2x(\sin x-\cos x)+\cos x(\cos^2x-\sin^2x)=0\\ \\ \sin^2x(\sin x-\cos x)-\cos x(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)=0\\ \\ (\sin x-\cos x)(\sin^2 x-\cos x\sin x-\cos ^2x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\sin x-\cos x=0~~~|:\cos x\ne 0\\ \\ tgx-1=0\\ \\ tgx=1\\ \\ x= \frac{\pi}{4}+ \pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ \sin^2x-\sin x\cos x-\cos^2x=0\\ \\ tg^2x-tgx-1=0$

Решим как квадратное уравнение относительно tg x.

$D=1+4=5\\ \\ tgx= \dfrac{1\pm \sqrt{5} }{2} ;~~~~\Rightarrow~~~~ x=arctg\bigg( \dfrac{1\pm \sqrt{5} }{2} \bigg)+ \pi n,n \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения этого уравнения \( \sin^3(x) + 3 \cos^3(x) = 2 \cos(x) \), мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы преобразовать его к более удобному виду.

Заметим, что тригонометрическое тождество \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) можно переписать в виде \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \). Далее, возведем обе части этого равенства в третью степень:

\[ \sin^6(x) = (1 - \cos^2(x))^3 \]

Разложим \((1 - \cos^2(x))^3\), используя бином Ньютона:

\[ (1 - \cos^2(x))^3 = 1 - 3\cos^2(x) + 3\cos^4(x) - \cos^6(x) \]

Теперь у нас есть выражение для \(\sin^6(x)\):

\[ \sin^6(x) = 1 - 3\cos^2(x) + 3\cos^4(x) - \cos^6(x) \]

Далее, воспользуемся формулой полной кубической разности для \( \sin^3(x) \):

\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \cdot \sin(x) = (1 - \cos^2(x)) \cdot \sin(x) \]

Подставим \( \sin^3(x) = (1 - \cos^2(x)) \cdot \sin(x) \) и найденное выражение для \( \sin^6(x) \) в начальное уравнение:

\[ (1 - \cos^2(x)) \cdot \sin(x) + 3\cos^3(x) = 2\cos(x) \]

Теперь у нас есть уравнение только с участием косинуса:

\[ (1 - \cos^2(x)) \cdot \sin(x) + 3\cos^3(x) = 2\cos(x) \]

\[ (1 - \cos^2(x)) \cdot \sin(x) = 2\cos(x) - 3\cos^3(x) \]

\[ \sin(x) = \frac{2\cos(x) - 3\cos^3(x)}{1 - \cos^2(x)} \]

Это уравнение можно решить, используя тригонометрические тождества и замену \( \sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} \), чтобы получить решение для \( x \).