Question

Найдите все значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения x^2+ρx+3ρ^4 наибольшая

Answer 1

Если разность корней наибольшая, то и квадрат разности тоже наибольший. Вычислим, чему равен квадрат разности корней этого уравнения (если эти корни существуют):

$(x_1-x_2)^2 =x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-4x_1x_2=\\=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-\rho)^2-4\cdot3\rho^4=\rho^2(1-12\rho^2)$

Разность квадратов – квадратичная функция относительно ρ², максимальное значение такая функция принимает в вершине, т.е. в точке ρ² = 1/24 = 6/144 ($\rho=\pm\sqrt{6}/12$). Несложно убедиться, что дискриминант совпадает с квадратом разности корней и положителен, поэтому при таких ρ уравнение действительно имеет два корня.

Ответ.

$\rho=\pm\dfrac{\sqrt6}{12}$

Answer 2

Поиск значений параметра p для максимальной разности между корнями уравнения

Чтобы найти значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения x^2 + px + 3p^4 будет наибольшей, мы можем использовать формулу дискриминанта. Дискриминант D для квадратного уравнения ax^2 + bx + c равен b^2 - 4ac. Если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных корня.

В данном случае, у нас есть уравнение x^2 + px + 3p^4. Чтобы найти значения параметра p, при которых разность между корнями будет наибольшей, мы должны найти максимальное значение дискриминанта D.

Дискриминант D для данного уравнения равен p^2 - 4(3p^4). Чтобы найти максимальное значение D, мы можем взять производную D по p и приравнять ее к нулю. Решив это уравнение, мы найдем значения параметра p, при которых разность между корнями будет наибольшей.

Решение

Для нахождения значений параметра p, при которых разность между корнями уравнения x^2 + px + 3p^4 будет наибольшей, мы должны найти максимальное значение дискриминанта D.

Дискриминант D для данного уравнения равен p^2 - 4(3p^4). Чтобы найти максимальное значение D, мы можем взять производную D по p и приравнять ее к нулю:

dD/dp = 2p - 48p^3 = 0

Решим это уравнение:

2p - 48p^3 = 0

2p = 48p^3

1 = 24p^2

p^2 = 1/24

p = ±√(1/24)

Таким образом, значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения x^2 + px + 3p^4 будет наибольшей, равны ±√(1/24).

Ответ: Значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения x^2 + px + 3p^4 будет наибольшей, равны ±√(1/24).