Question

Докажите, что если одно из двух натуральных чисел при делении на 5 даёт остаток 3, а другое – остаток 1, то сумма их квадратов делится на 5.

Answer 1

Первое число можно представить в виде 5x+3; второе число можно представить в виде 5y+1; (5x+3)^2 + (5x+1)^2 =25x^2+30x+9+y^2+10y+1=25x^2+25y^2+30x+10y+10 это число делится на пять без остатка при любых целых x и y

Answer 2

Давайте обозначим два натуральных числа как \(a\) и \(b\), где \(a\) даёт остаток 3 при делении на 5, а \(b\) даёт остаток 1 при делении на 5. Это можно записать следующим образом:

\[a \equiv 3 \pmod{5}\] \[b \equiv 1 \pmod{5}\]

Где символ \(\equiv\) означает "сравнимо по модулю". Теперь выразим эти числа через их соответствующие остатки:

\[a = 5k + 3\] \[b = 5m + 1\]

Где \(k\) и \(m\) - целые числа. Теперь найдем сумму их квадратов:

\[a^2 + b^2 = (5k + 3)^2 + (5m + 1)^2\] \[= 25k^2 + 30k + 9 + 25m^2 + 10m + 1\] \[= 25(k^2 + m^2) + 30k + 10m + 10\]

Мы видим, что первые два члена \(25(k^2 + m^2)\) делятся на 5, так как они умножаются на 25. Остаётся рассмотреть остатки от деления \(30k + 10m + 10\) на 5.

\[30k + 10m + 10 = 10(3k + m + 1)\]

Теперь у нас есть произведение \(10\) на целое число \((3k + m + 1)\). Любое число, умноженное на 10, делится на 5 (поскольку \(10 = 5 \times 2\)). Таким образом, сумма квадратов чисел \(a\) и \(b\) также делится на 5.