Question

Помогите пожалуйста √3 + log√₃54-log-√₃18√3

Answer 1

$\sqrt{3} + \log_{\sqrt{3}} 54 - \log_{\sqrt{3}} 18\sqrt{3} = \sqrt{3} + \log_{\sqrt{3}}\displaystyle {{54}\over{18\sqrt{3}}}\, = \sqrt{3} + \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = \sqrt{3} + 1$

Answer 2

Давайте решим ваше выражение шаг за шагом.

У вас есть следующее выражение: \[ \sqrt{3} + \log_{\sqrt{3}}54 - \log_{\sqrt{3}}\left(\sqrt{18}\cdot\sqrt{3}\right) \]

1. Упростим подкоренные выражения: \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \] Теперь подставим это обратно в выражение: \[ \sqrt{3} + \log_{\sqrt{3}}54 - \log_{\sqrt{3}}\left(3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\right) \]

2. Приведем к общему знаменателю в логарифмах: \[ \log_{\sqrt{3}}54 = \frac{\log_{3}54}{\log_{3}(\sqrt{3})} = \frac{\log_{3}54}{\frac{1}{2}} = 2\log_{3}54 \] Аналогично, для второго логарифма: \[ \log_{\sqrt{3}}\left(3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\right) = \frac{\log_{3}\left(3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\right)}{\log_{3}(\sqrt{3})} = \frac{\log_{3}\left(3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\right)}{\frac{1}{2}} = 2\log_{3}\left(3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\right) \]

Теперь подставим это обратно в выражение: \[ \sqrt{3} + 2\log_{3}54 - 2\log_{3}\left(3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\right) \]

3. Используем свойство логарифмов: \[ \log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\left(\frac{b}{c}\right) \] Применим это свойство ко второму и третьему членам: \[ \sqrt{3} + 2\log_{3}54 - 2\log_{3}\left(3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\right) = \sqrt{3} + 2\log_{3}\frac{54}{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}} \]

4. Упростим под логарифмом: \[ \frac{54}{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}} = \frac{54}{3\sqrt{6}} = \frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6} \] Подставим это обратно в выражение: \[ \sqrt{3} + 2\log_{3}\frac{54}{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 2\log_{3}3\sqrt{6} \]

5. Еще одно свойство логарифмов: \[ \log_{a}a = 1 \] Применим это свойство ко второму члену: \[ \sqrt{3} + 2\log_{3}3\sqrt{6} = \sqrt{3} + 2\cdot \frac{1}{2}\log_{3}\sqrt{6} \]

6. Упростим под логарифмом еще раз: \[ \log_{3}\sqrt{6} = \frac{1}{2}\log_{3}6 \]

Теперь подставим все обратно в выражение: \[ \sqrt{3} + 2\cdot \frac{1}{2}\log_{3}\sqrt{6} = \sqrt{3} + \log_{3}6 \]

Таким образом, ваше исходное выражение равно \(\sqrt{3} + \log_{3}6\).