Question

Решить неравенство: log1/2 (2x-4)≥log1/2 (1+x)

Answer 1

Область допустимых значений:

2x - 4 > 0
1 + x > 0

2x > 4
x > - 1

x > 2
x > -1

Т.о ОДЗ: х > 2

Решаем неравенство:

Так как основание 1/2 < 1, то меняем знак неравенства на противоположный

$log_{ \frac{1}{2} }(2x - 4) \leqslant log_{ \frac{1}{2} }(1 + x)$$2x - 4 \leqslant 1 + x$
$2x - x \leqslant 1 + 4$
$x \leqslant 5$

Пересекаем ОДЗ с решением неравенства (фото):

Получаем что X принадлежит (2;5]

Answer 2

Чтобы решить данное логарифмическое неравенство, мы можем использовать свойства логарифмов. В данном случае, оба логарифма имеют одинаковую основу (log₁/₂), поэтому мы можем сравнить аргументы под логарифмами:

\[ \log_{1/2}(2x - 4) \geq \log_{1/2}(1 + x) \]

Сначала убедимся, что оба аргумента логарифмов положительны (так как логарифм отрицательного числа не определен). Поэтому:

\[ 2x - 4 > 0 \] \[ 1 + x > 0 \]

Решая эти неравенства, получаем:

\[ x > 2 \] \[ x > -1 \]

Теперь, если оба аргумента логарифмов положительны, то мы можем сравнить их:

\[ 2x - 4 \geq 1 + x \]

Выразим x:

\[ 2x - x \geq 1 + 4 \]

\[ x \geq 5 \]

Таким образом, для выполнения исходного логарифмического неравенства, x должно удовлетворять условиям:

\[ x > 2 \] \[ x \geq 5 \]

Таким образом, решение данного неравенства - это множество всех x, удовлетворяющих условиям \( x > 2 \) и \( x \geq 5 \). Множество решений будет \( x \geq 5 \).