Question

Повне дослідження функції y=x/x^2-4

Answer 1

Дано:    Y = x/(x²-4)

Исследование:

1. Область определения: В знаменателе: х² - 4 = (х-2)*(х+2)

D(y)= X≠ 2, X∈(-∞;-2)∪(-2;2)∪(2;+∞).

Не допускаем деления на 0 в знаменателе. Два разрыва.

2.Поведение в точках разрыва.

LimY(-2-)= -∞, LimY(-2+)= -∞. Вертикальная асимптота - х = -2.  

LimY(2-)= -∞, LimY(2+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = 2.  

Неустранимые разрывы II-го рода.

3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.  

k = lim(+∞)Y(х)/x = 1/(x²- 4) = 0 - коэффициент наклона.  y = 0 - горизонтальная асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0.  Х=0.

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0)= 0.

6. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-2)∪(0;-2).

Положительна: Y>0 - X∈(-2;0)∪(2;+∞).

7. Проверка на чётность. Сдвига по осям ОХ и ОУ - нет.  

Функция нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x)  - центральная симметрия.

8. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = 1/(x²-4) - 2*x/(x²-4)² = 0. Корней - нет.

9. Локальные максимумы  - нет.

10. Интервалы монотонности.  

Убывает: X∈(-∞;-2)∪(-2;2)∪(2;+∞) = D(y) - везде, где существует.

11. Поиск перегибов по второй производной.  

y''(x) =2*x*(x²+12)/(x²-4)³ = 0.

Точки перегиба: Х₁ = -2, X₂ = 0, X₃ = 2.    

12. Выпуклая - 'горка' - X∈(-∞;-2)∪(0;2).

Вогнутая - 'ложка'- X∈(-2;0)∪(2;+∞;).

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).  

14. График функции на рисунке в приложении.

Answer 2

Здається, що у вашому питанні є помилка, оскільки ви використовуєте символ "+" між словами, що може призвести до непорозумінь. Проте, я зрозумів, що ви шукаєте повне дослідження функції \(y = \frac{x}{x^2-4}\). Давайте проведемо це дослідження.

1. Область визначення: Функція \(y = \frac{x}{x^2-4}\) визначена для всіх значень \(x\), крім тих, які призводять до нульового знаменника (оскільки ділення на нуль невизначено) та до значень аргументу, що робить знаменник додатним або від'ємним (оскільки нам потрібно уникнути взяття квадратного кореня від від'ємного числа). Таким чином, область визначення цієї функції - \((- \infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)\).

2. Знаменник: Знаменник \(x^2-4\) може бути розкритий як \((x-2)(x+2)\). Таким чином, функція може бути переписана як \(y = \frac{x}{(x-2)(x+2)}\).

3. Нулі функції: Нулі функції \(y = \frac{x}{(x-2)(x+2)}\) визначаються значеннями \(x\), при яких чисельник \(x\) дорівнює нулю. Таким чином, нульові точки функції - це \(x = 0\).

4. Вертикальні асимптоти: Функція має вертикальні асимптоти в точках, де знаменник \(x^2-4\) дорівнює нулю. З цього випливає, що вертикальні асимптоти у рівнянні \(x^2-4=0\) є \(x = -2\) та \(x = 2\).

5. Горизонтальні асимптоти: Функція має горизонтальну асимптоту, якщо ступінь чисельника і знаменника однаковий. У нашому випадку, обидва мають ступінь 1, тобто функція не має горизонтальних асимптот.

6. Знак функції: Аналізуючи знак чисельника та знаменника, можна визначити, що функція додатня на інтервалах \((- \infty, -2)\) і \((2, +\infty)\), а від'ємна на інтервалі \((-2, 2)\). Також важливо врахувати, що функція не існує в точках \(x = -2\) і \(x = 2\) (вертикальні асимптоти).

7. Графік функції: Дослідження функції включає побудову її графіка. Для цього можна використовувати програми для графічного підрахунку, такі як Desmos або GeoGebra.

Це загальне дослідження функції \(y = \frac{x}{x^2-4}\). Якщо у вас є конкретні питання або які-небудь додаткові вказівки, будь ласка, дайте мені знати, і я допоможу вам більш детально.