Question

Решите уравнение: sin^4x = m - cos^4x , если известно, что х принадлежит [0;1 ]

Answer 1

Sin^4x+cos^4x=m  добавим и отнимем 2sin²xcos²x
sin^4x+2cos²xsin²x+cos^4x-2sin²xcos²x=m     
выражение 2sin²cos²x умножим и разделим на 2
(sin²x+cos²x)²- 4sin²xcos²x/2=m  
по формуле sin2x=2sinxcosx 
1-(sin2x)²/2=m
(sin2x)²=2(m-1)
2x=√(2m-2)
x=(1/2)√(2m-2)=0,5√(2m-2)

Answer 2

Давайте решим уравнение \(\sin^4(x) = m - \cos^4(x)\), где \(x\) принадлежит интервалу \([0; 1]\).

Сначала воспользуемся тригонометрическими тождествами для преобразования \(\sin^4(x)\) и \(\cos^4(x)\):

\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) (тригонометрическое тождество)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\((\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 = 1\)

Раскрываем квадрат суммы:

\(\sin^4(x) + 2\sin^2(x)\cos^2(x) + \cos^4(x) = 1\)

Теперь видим, что \(\sin^4(x) + \cos^4(x) + 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1\).

Имея уравнение \(\sin^4(x) = m - \cos^4(x)\), подставим его в выражение:

\[m - \cos^4(x) + \cos^4(x) + 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1\] \[m + 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1\]

Теперь давайте воспользуемся фактом, что \(x\) принадлежит интервалу \([0; 1]\). В этом интервале \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) могут принимать значения от 0 до 1.

Заметим, что \(\sin^2(x)\) и \(\cos^2(x)\) также будут находиться в интервале \([0; 1]\). Таким образом, у нас будет \(2\sin^2(x)\cos^2(x) \leq 1\).

Теперь вернемся к уравнению \(m + 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1\). Учитывая, что \(2\sin^2(x)\cos^2(x) \leq 1\), чтобы уравнение имело решение при \(m = 1\), необходимо, чтобы \(m\) было не меньше 0 и не больше 1. Таким образом, решением будет \(m \in [0; 1]\).