Question

Решите неравенство, пожалуйста. cos2x>=-1/2

Answer 1

Cos2x=-1/2

2х =  ±2П/3 + 2Пn,     nєZ

х =  ±2П/6 + 2Пn/2,     nєZ

х =  ±П/3 + Пn,     nєZ

Answer 2

Давайте решим неравенство \( \cos(2x) \geq -\frac{1}{2} \).

1. Начнем с решения уравнения: \[ \cos(2x) = -\frac{1}{2} \]

Решим это уравнение для нахождения точек пересечения графика \( \cos(2x) \) с горизонтальной линией \( y = -\frac{1}{2} \).

Используем факт, что \( \cos(\theta) = -\frac{1}{2} \) в углах \( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) и \( \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \), где \( k \) - целое число.

Таким образом, получаем: \[ 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] или \[ 2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \]

Решая эти уравнения для \( x \), получаем: \[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \] или \[ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \]

2. Теперь определим интервалы, на которых \( \cos(2x) \) принимает значения больше или равные \( -\frac{1}{2} \).

- Возьмем произвольную точку в каждом интервале между соседними корнями, например, между \( x = \frac{\pi}{3} \) и \( x = \frac{2\pi}{3} \).

- Проверим знак \( \cos(2x) \) в каждой выбранной точке.

- При \( x = \frac{\pi}{2} \), \( \cos(2x) = \cos(\pi) = -1 \), что меньше чем \( -\frac{1}{2} \). - При \( x = \frac{\pi}{2} + \epsilon \), где \( \epsilon \) - маленькое положительное число, \( \cos(2x) \) становится положительным.

Таким образом, на интервале \( \left(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right) \) неравенство \( \cos(2x) \geq -\frac{1}{2} \).

3. Общее решение неравенства.

Поскольку корни уравнения \( \cos(2x) = -\frac{1}{2} \) повторяются через каждый \( \pi \), общее решение неравенства будет иметь вид: \[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \] или \[ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \] где \( k \) - целое число.

Таким образом, неравенство \( \cos(2x) \geq -\frac{1}{2} \) выполняется на интервалах \( \left(\frac{\pi}{3} + k\pi, \frac{2\pi}{3} + k\pi\right) \), где \( k \) - целое число.