Question

Неопределенный интеграл dx/(x^2-x-2)

Answer 1

Есть продолжение............
поговори со мной, и я буду продолжать

Answer 2

Конечно! Я могу помочь вам с решением данного неопределенного интеграла. Для интегрирования функции `dx/(x^2-x-2)` мы можем воспользоваться методом частных дробей или завершить квадрат в знаменателе. Я покажу оба способа.

Метод частных дробей:

1. Сначала разлагаем дробь на простые слагаемые. Заметим, что знаменатель `x^2-x-2` может быть факторизован как `(x-2)(x+1)`. 2. Разложим исходную функцию на простые частные дроби:

`dx/(x^2-x-2) = A/(x-2) + B/(x+1)`

где `A` и `B` - неизвестные коэффициенты. 3. Теперь найдем значения `A` и `B`. Для этого можно сложить дроби с общим знаменателем:

`dx/(x^2-x-2) = (A(x+1) + B(x-2))/((x-2)(x+1))`

Сравнивая числители, получим:

`1 = A(x+1) + B(x-2)`

Подставим `x=2` и `x=-1`:

Для `x=2`: `1 = A(2+1) + B(2-2) = 3A` Для `x=-1`: `1 = A(-1+1) + B(-1-2) = -3B`

Решая систему уравнений, получим `A=1/3` и `B=-1/3`. 4. Теперь мы можем переписать исходную функцию в виде:

`dx/(x^2-x-2) = 1/3 * 1/(x-2) - 1/3 * 1/(x+1)`

5. Интегрируем каждую дробь по отдельности:

∫`dx/(x^2-x-2) = ∫(1/3 * 1/(x-2) - 1/3 * 1/(x+1)) dx`

`= (1/3) * ln|x-2| - (1/3) * ln|x+1| + C`

где `C` - произвольная постоянная.

Завершение квадрата:

1. Заметим, что знаменатель `x^2-x-2` является квадратным полиномом. Мы можем завершить квадрат в знаменателе, чтобы производить интегрирование. 2. Запишем знаменатель в форме `(x-a)^2 - b^2`, где `a` и `b` - подходящие значения. В данном случае, `a = 1/2` и `b = 5/2`. 3. Разложим исходную функцию на простые дроби:

`dx/(x^2-x-2) = dx/((x-1/2)^2 - (5/2)^2)` Заменив `u = x - 1/2`, получим:

`dx/((x-1/2)^2 - (5/2)^2) = du/(u^2 - (5/2)^2)` 4. Теперь мы можем интегрировать новую функцию, используя формулу для интеграла `du/(u^2 - a^2) = (1/2a) * ln|(u-a)/(u+a)| + C`. 5. Подставим обратную замену `u = x - 1/2`:

`∫dx/(x^2-x-2) = (1/2 * (5/2)) * ln|((x-1/2)-(5/2))/((x-1/2)+(5/2))| + C` `= (5/4) * ln|(x-3)/(x+2)| + C`

где `C` - произвольная постоянная.

Таким образом, решение неопределенного интеграла `∫dx/(x^2-x-2)` равно `(5/4) * ln|(x-3)/(x+2)| + C`.