Question

Решить 2sin^2x=(cosx+sinx)^2

Answer 1

2sin^2 x = (cos x + sin x)^2 = cos^2 x + 2sin x*cos x + sin^2 x
2sin^2 x = 1 + sin 2x
2sin^2 x - 1 = sin 2x
-cos 2x = sin 2x
tg 2x = -1
2x = -pi/4 + pi*k
x = -pi/8 + pi/2*k

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества.

Исходное уравнение: 2sin^2x = (cosx + sinx)^2

Раскроем квадрат суммы (cosx + sinx)^2: 2sin^2x = cos^2x + 2cosxsinx + sin^2x

Упростим уравнение, объединяя одинаковые члены: 2sin^2x = cos^2x + sin^2x + 2cosxsinx

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только sin и cos. Мы можем использовать тригонометрическую тождества для его дальнейшего упрощения.

Тождество: sin^2x + cos^2x = 1

Подставим это тождество в наше уравнение: 2sin^2x = 1 + 2cosxsinx

Упростим уравнение: 2sin^2x - 2cosxsinx = 1

Вынесем общий множитель: 2sinx(sin x - cos x) = 1

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1) sinx = 0: Если sinx = 0, то первый множитель будет равен 0, и уравнение не выполняется.

2) sin x - cos x = 1/2: Это уравнение можно решить алгебраически. Перенесем 1/2 налево: sin x - cos x - 1/2 = 0

Мы можем применить тригонометрическую формулу разности: sin (x - π/4) = 1/2

Теперь найдем все значения x, для которых sin (x - π/4) = 1/2. Воспользуемся таблицей значений sin(x) и найдем значение аргумента, для которого sin(x) = 1/2. Из таблицы мы видим, что sin(π/6) = 1/2.

Таким образом, у нас есть два решения: 1) sinx = 0 (не выполняется) 2) x - π/4 = π/6 x = π/4 + π/6 x = 5π/12

Итак, уравнение 2sin^2x = (cosx + sinx)^2 имеет одно решение: x = 5π/12.